Donc tu as trouvé un ker qui est de dimension 2 (un hyperplan)
Pour trouver une base, il suffit que tu trouves deux vecteurs indépendants respectant l'équation (par exemple (1;0;1) et (-2;1;0) )
tu en déduis dim Imf en utilisant la formule du théorème du rang

Bonjour,

Il te faut trouver un vecteur répondant à z=x+2y , tout l'espace vectoriel sera alors engendré par ce vecteur.
Exemple :

Bonjour Glapion,

Je vois que j'ai dit une bourde

Bonjour Glapion,

Pouvez-vous s'il vous plaît me montrer les calculs pour trouver 2 vecteurs indépendant respectant l'équation ?

bof tu regardes l'équation z=x+2y et tu donnes des valeurs au hasard (pour que ça fasse des calculs simples) à x et y
moi j'ai fait x=1 et y=0 et ça m'a donné z=1 donc tu en as déjà un (1;0;1)
après il t'en faut un second, le seul truc c'est qu'il ne doit pas être colinéaire au premier
tu fais un essai de valeurs, moi j'ai pris (-2;1;0) et tu as juste à vérifier qu'ils sont bien indépendant (pas colinéaires), c'est facile à voir.

Merci à vous,  je vais essayer de faire la suite

J'ai utilisé le théorème du rang:  dim Imf + dim Kerf = dim R^3
Donc dim Imf = 3-2 = 1
Pour la base de Imf j'ai trouvé (1;-1;3).
Cependant, je ne sais pas comment trouver le rang de f et dois-je trouver une deuxième base de Imf.

c'est quoi le rang ? c'est la dimension de l'image, donc c'est 1.

Donc le rang = dim Imf ?

Oui.

oui

Ainsi, si base de Kerf = 2 alors base de Kerf différent de 0, donc f n'est pas injective.
Si base de Imf = 1 alors base de Imf différent de R^3, donc f n'est pas surjective.
Est-ce exact ?

oui

Merci à vous, bonne journée.

De rien.