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base de l'image et du noyau d'une applic. lineaire
Salut! je galere pour cet exo..
Soit f : R3 
R3 une application lineaire et soit D = (d1=(1,0,-1) , d2=(0,1,2) , d3=(2,1,1)) une base du R-ev R3.
On pose M = Mat(f,D,D)= 1 1 2
0 1 1
2 -1 1
On me demande de donner une base de Im(f) et de Ker(f) sans utiliser la Mat(f,C,C) ou C est la base canonique de R3 que l'on peut retrouver en faisant: Mat(f,C,C) = Mat(Id,D,C) 
Mat(f,D,D) Mat(f,C,D).
Pour une base de Im(f) j'ai fait la chose suivante..
on sait que pour f : EF une application lineaire (E et F 2K-ev) on a lorsque A est une famille generatrice de E, f(A) est une famille generatrice de f(E) = Im(f).
Ici on a D qui est une famille generatrice de R3
et d'apres la matrice donnée on sait que :
f(1,0,-1) = 1.(1,0,-1) + 2.(2,1,1) = (5,2,1)
f(0,1,2) = 1.(1,0,-1) + 1.(0,1,2) + (-1).(2,1,1) = (-1,0,0)
f(2,1,1) = 2.(1,0,-1) + 1.(0,1,2) + 1.(2,1,1) = (4,2,1)
donc la famille ((5,2,1),(-1,0,0),(4,2,1)) est une famille generatrice de Im(f) mais n'est pas une base car non libre.
Toute famille generatrice contient une base..
On obtient base de Im(f) : ((5,2,1),(-1,0,0))
estce que c'est correct ?!
Pour le noyau commment dois je proceder?!
merci!!
Bonsoir
soit (e1;e2;e3) la base canonique de IR3
Pour Im f: on voit sur la matrice que d1+d2 = d3 c'est a dire que f(e1)+f(e2) = f(e3) (la somme des colonnes 1 et 2 donne la colonne 3). Donc (d1;d2) est une base de Imf (il est facile à prouver que c'est un système libre).
Pour Ker f:
ce sont les vecteurs v tels que f(v) = 0
soit v
Résouds le système (lié)[par exemple écris x,y et z en fonction de z, tu auras une représentation paramétrique de Ker f) qui te permettra de trouver un vecteur directeur de Kerf.
Je trouve v(1;-1;1)
salut jeanseb
je suis daccord avec ton raisonnement mais la matrice que jai donné est la matrice de f dans la base D t sur d'avoir bien vu ce parametre?
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