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base du noyau et de l'image d'une application linéaire
bonsoir dans un de mes exercice on se place dans E=R^3 je doit trouver une base du noyau et de l'image de lapplication f défini par sa matrice 4 -1 5
-2 -1 -1
-4 1 -5 dans la base canonique
je trouve que le noyau et réduit à 0 (si je ne me suis pas trompé) et je ne vois pas comment trouver une base de imf
j'avais penser a utiliser le théorème du rang qui me dit que la dimmension de imf et 3 donc on doit trouver 3 vecteurs dans la base ... j'ai pensé au vecteurs colonnes mais ce nest pas une partie libre (2)+(3)=(1) ...
donc je ne voit pas comments faire merci de votre aide
j'ai du faire une erreur
je trouve X=(x,y,z) € kerf ssi il vérifie le systéme 4x-y+5z=0
-2x-y-z=0
4x+y-5z=0
et je trouve x=y=z=0...
Bonsoir,
je crois que vous avez fait une erreur dans votre systeme d'équations. En effet le systéme que vous devriez trouver est le suivant:
-2x-y-z=0
4x-y+5z=0 ( erreur de signe!!)
C'est l'intersection de deux hyperplans disctints alors vous aurez une droite vectorielle.
Par ailleurs, pour avoir une base de l'image, vous pouvez faire une chose très simple. D'après le théoréme du rang dim(Im(f))=2. Donc il suffit d'avoir deux vecteurs non colinéaires. Et pour les avoir vous pouvez choisir arbitrairement deux vecteurs colonnes X1 et X2. Et faire les produits A.X1 et A.X2 si A et la matrice que vous avez donné biensur.
Attention, il faut bien vérifier que les deux vecteurs que vous avez trouvés ne sont pas colinéaires.
Bonne soirée et du courage.
Si mais la première et la troisème équation sont les mêmes. (En effet si on multiplie la première par -1 on obtient la troisième) Donc on peut éliminer l'une d'entre elles.
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