Niveau maths spé

base dual

Posté par
ragnax 02-02-09 à 02:22

Bonsoir

Etablir que les n formes linéaires ci-dessous forment une base du dual de $R_{n-1}[X]$ :
pour tout P $R_{n-1}[X]$ , 1(P)=P(x1), 2(P)=P(x2),...,n(P)=P(xn)

Je pense qu'il faut utiliser les polynomes de Lagrange, mais je ne sais pas comment.
Est ce qu'il faut utiliser le théoreme de la base duale?
Soit (P1,...,Pn) une base de $R_{n-1}[X]$ (les P1,..,Pn sont les polynomes de Lagrange). Comme pour tout P $R_{n-1}[X]$ , 1(P)=P(x1), 2(P)=P(x2),...,n(P)=P(xn), (1,...,n) forment une base du dual de $R_{n-1}[X]$

Merci d'avance

Posté par re : base dual 02-02-09 à 14:41

Bonjour

C'était surement dit quelque part que les $x_i$ sont distincts.

Oui, c'est bien les polynômes de Lagrange qu'il faut utiliser. On qu'ils vérifient $L_i(x_j)=0$ si $i\neq j$ et $L_i(x_i)=1$ Ceci signifie exactement $\varphi_j(L_i)=0$ si $i\neq j$ et $\varphi_i(L_i)=1$ ce qui montre que l'on a affaire à la base duale de la base de Lagrange.

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