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Base duale

Posté par
celin0u 05-10-09 à 21:20

Bonsoir

je ne sais pas du tout comment traiter ce genre d'exercice

Soit n2 et E=Rn[x] pour  0kn  on pose  uk:=P-> Intégrale de -1 à 1 de t^kP(t)dt  

Démontrer que (uo, u1 ,u2 ... un) est une base de E*

merci pour votre aide

Posté par
jandri Correcteurre : Base duale 05-10-09 à 23:01

Bonsoir,

Comme le nombre de vecteurs est égal à la dimension de E* il suffit de montrer que c'est une famille libre.
Si 4$\Bigsum_{k=0}^n a_k u_k=0 alors on obtient en posant 4$Q=\Bigsum_{k=0}^n a_k X^k : pour tout polynôme P, 4$\int_{-1}^1 P(t)Q(t)dt=0. En prenant P=Q on obtient Q=0 d'où les a_k sont nuls.


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