Ce n'est pas normal, tu dois trouver pour ker(h) un sous-espace de dimension 1 (et donc pour Im(h) un sev de dimension 2).

Parce que je trouve x₁=-x₂-x₃
                     -4x₂=0
                     x₁=x₂ ...

C'est le système que je trouve !

Tu as fait une faute de calcul.
La première équation est d'où .

Ah oui , tu as raison . Je trouve que (e₁+e₂+2e₃) est une base de Ker(h) .

C'est juste.

Et la base de  Im(h) , c'ets par exemple : (-e₁+e₂+2e₃,-e₁-3e₂-2e₃) ?

C'est exact.

Je crois que grâce à toi j'ai enfin compris les bases .

Comment fais- tu pour montrer que ker(h) et ker(g) sont supplémentaires ?

Je sais quil faut montrer que dim ker(g)+ dim ker(h) = dim E , ça c'estsimple . MAis il faut aussi montrer que ker(g)ker(h)=0..

L'étude de l'intersection est très simple puisque x doit vérifier f(x)=4x et f(x)=-2x.
On en déduit 4x=-2x donc x=0.

Une remarque pour une prochaine fois:
ne pose pas le même exercice dans deux topics différents.
Tu as défini h dans ce topic et g dans un autre, mais il s'agit bien de la même fonction f dans les deux.

Merci beaucoup . Et comment peut-on en déduit Ker(f) et Ker(h) ,?

Pour montrer que f(x)=b avec b=e₁+2e₂+3e₃ , Faut-il faire un système avec f(e₁)=e₁+2e₂+3e₃ , f(e₂)=e₁+2e₂+3e₃  , f(e₃)=e₁+2e₂+3e₃ ?

Tu as déjà trouvé Ker(h).
Pour obtenir Ker(f) il faut résoudre le système associé à f(x)=0 c'est-à-dire:
.
On obtient x=0.

Pour obtenir x tel que f(x)=b avec on résout le système:
.

Autant pour moi c'est ker(f) et im(f)

Je ne comprends comment tu as fait pour trouver ces équations pour f(x)=0

Pour résoudre f(x)=0 on remplace x par et on utilise les valeurs de , etc...
Pour trouver Im(f) on peut dire que c'est le sev engendré par . Mais ici après avoir trouvé que Ker(f)={0} on peut conclure directement que Im(f)=³.

Pour f(x)=b avec b=e₁+2e₂+3e₃
Je pose x=x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃
Et je trouve lorsque je remplace x dans f(x)=b , x=(-7/8)e₁+(-11/8)e₂+(-3/4)e₃
Est ce la bonne solution ?

Non ce n'est pas la bonne réponse.
On trouve x₃=0 , x₂=-1/4 , x₁=1/4.