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Base orthonormale avec forme quadratique
Bonjour !
J'ai un petit problème pour trouver une base orthonormale d'une forme quadratique.
Par exemple si ma forme quadratique décomposée en somme de carré est :
q(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3)²-(x1-x2)²
Je cherche une base orthonormale de q.
Je pose :
f1=(1,1,1)
f2=(1,-1,0)
f3=(0,0,1)
Si j'ai bien compris, l'une des méthodes consiste à chercher la base duale de cette base.
J'ai trouvé :
f1*=(1/2,1/2,0)
f2*=(1/2,-1/2,0)
f3*=(-1/2,-1/2,1)
f1* et f2* sont bien orthogonaux
f2* et f3* sont bien orthogonaux
par contre f1* et f3* ne sont pas orthogonaux donc pour moi ma base n'est pas orthogonale.
Je ne comprends pas pourquoi cette base serait orthogonale.
Ici je vous ai donné un exemple mais j'ai trouvé plusieurs cas semblables à celui là.
Par avance je vous remercie pour vos explications.
Elotwist
Pour trouver f3:
Je pose f3=(x,y,z)et il faut que je résolve le système suivant :
{<f1,f3> =0
{<f2,f3>=0
Autrement dit :
{x+y+z=0
{x-y=0
Avec la deuxième équation on trouve y=x et on a donc z=-2x
on choisit par exemple f3=(1,1,-2).
Avec ceci je trouve
f1*=(1/3,1/3,1/3)
f2*=(1/3,-2/3,1/3)
f3*=(1/6,1/6,-1/3)
et ma base n'est toujoours pas orthogonale...
après avoir refais les calculs je trouve :
f1*=(1/3,1/3,1/3)
f2*=(1/2,-1/2,0)
f3*=(1/6,1/6,-1/3)
et cette fois ci la base est bien orthogonale.
J'ai vu qu'il existait une deuxième méthode pour cela. Celle qui consiste à prendre l'inverse de la transposée de la matrice des vecteurs.
Par exemple ici on a :
A =(1 1 1)
(1 -1 0)
(1 1 -2)
Est-ce que cela fonctionne tout le temps et d'où ça vient ?
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