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Besoin de méthode sur un exercice sur les projecteurs
Bonjour, ayant fait des exercices sur les projecteurs, je suis embêté plus particulièrement par celui-ci :
Soit E un ev. dim E = n (n > 1).
B (e1, ... en) est une base de E.
Soit le vecteur u tel que
Soit f l'application qui à tous vecteur x de composantes (xi) dans B asoocie
Démontrer que f est un projecteur (à caractériser).
Merci pour les explications que vous pourrez m'apporter
.
Bonjour
Soit u UN vecteur dont la somme des coordonnées est 1, ou soit u le vecteur (1,1,...,1)?
De toute façon pour montrer que f est un projecteur, il faut juste montrer que f o f =f.
Bonjour Camélia, merci d'avoir répondu aussi vite .
En effet, je suis allée trop vite :
On considère le vecteur u tel que
seule chose, faut-il montrer que l'application est linéaire ? Car cela n'est pas précisé dans l'énoncé.
L'application est linéaire de manière à peu près évidente, mais ça ne fait pas de mal à vérifier...
Par ailleurs, ce n'est pas fini! Pour tout x on a
car f(u)=0. Et voilà pourquoi c'est un projecteur.
De plus, on vient de voir que u est dans le noyau, vérifie que le noyau est exactement le sous-espace de dimension 1 engendré par u.
Ah d'accord, je comprends tout.
Comme l'image et le noyaux sont supplémentaires => l'image est de dimension (n-1).
Pour un projecteur, il suffit de chercher Im(f)=Ker(p-Id)
et c'est gagné
Merci Camélia.
Avec une petite aide, on arrive à tout faire.
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