Par exemple, pour X⁴+ X³- X²+X-2 divisé par  X³+X-2.

j'ai posé la division, je trouve :

X⁴+ X³- X²+X-2  = X³+X-2 * (X+1) - 2(X²-X)

Et donc je trouve :

X⁴+ X³- X²+X-2 - (X+1) * X³+X-2 =  - 2(X²-X)
Donc u = 1 et v = -X-1.

C'est bien comme cela qu'il faut faire ou il y a mieux ?

Merci

Non
il faut faire des divisions successives jusquà obtenir un reste nul
le pgcd est l'avt dernier reste (non nul )
on obtient bezout en remontant ds les divisions successives mais
il y a un algorithme plus efficace pour obtenir bezout ss remonter ds les divisions successives.
on exprime, au fur et à mesure, à chaque division le reste comme combinaison de a et b dont on cherche le pgcd.
voir page 41 à 44 du poly de cours anneaux et arithmétique 2008 de Félix Ulmer

c'est tres bien expliqué avec un exemple dans Z
dans les polynômes c'est pareil

pour ton exemple, il faut continuer en divisant
par ou plus simplement par

Bonjour, merci pour cette réponse. En faisant les divisions successives je trouve que le PGCD vaut X-1.

ensuite tu remontes les divisions pour obtenir bezout

J'ai trouvé :

U = ((X+1)/4)-k(X³+X-2)= ((X+1)/4)-kB
V = k(X⁴+ X³- X²+X-2) + (1/2) - ((X+1)²/4)= kA + (1/2) - ((X+1)²/4)

Par contre je me pose une question.
Comme on a PGCD = X -1, différent de 1 pour X différent de 2.
Alors A divise B puisque que A et B ne sont pas premiers entre eux. Donc je devrais diviser les deux membres de l'égalité par le PGCD pour avoir des A et B premiers entre eux ? Merci d'avance.

exemple :

AU = BV
A et B ne sont pas premiers entre eux.
Divisés par leur PGCD, ils n'ont plus de facteurs communs.
A'U=B'V
Ainsi B' divise U, soit U=kB'

si on divise l'identite par le pgcd
A=(X-1)A1
B=(X-1)B1
et UA1+VB1=1
ces nouveaux polynomes sont bien premiers entre eux

D'accord. Merci encore. Mais la division par le pgcd est-elle nécessaire ?

De rien
la division par le pgcd n'est pas utile pour obtenir le pgcd et Bezout
Mais elle l'est  pour obtenir des polynomes premiers entre eux

D'accord. Merci encore

David