Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Bijection!
Salut tout le monde,
petit exo sur la bijection:
On considère l'application f:R²→R²
(x,y)→ (x+y,x-y)
f est-elle bijective? Si oui, expliciter son application réciproque.
Je bloque BEAUCOUP sur l'écriture (x,y)->(x+y,x-y), je sais que le plus simple est de prouver que tout élément (a,b) de R² admet un unique antécédent, ce qui fournit du même coup l'expression de la bijection réciproque.
Autrement dit, il faut résoudre en (x,y) : (x,y)→(a,b), ou bien le systeme a=x+y, b=x-y donc si je montre que pour tout couple a,b, il existe une et une seule solution, j'ai montré l'injectivité et la surjectivité. Mais je ne sais comment montrer celà. help!
Bonjour,
Si t'as montré l'injectivité et la surjectivité, je ne vois pas où est le problème...
Mais tout simplement, on peut résoudre :
{x+y = a
{x-y = b
Ce système te donne immédiatement x = (a+b)/2, et y = (a-b)/2 pour uniques solutions avec le couple (a,b) fixé donc c'est bijectif.
Bonsoir,
Nous pouvons aussi observer les itérations:
f
f
Soit identité,
ou l'inverse de f est 1/2f
Alain
Remarquons que est dans
, de sorte qu'en désignant par
sa matrice dans la base canonique de
, l'on constaste immédiatement que
est bijective (calcul du déterminant). Enfin, le calcul simple de
nous donne l'automorphisme réciproque.
A +
salut
oui moi ausi j'étais passé aux matrices ....
une vision géométrique élémentaire ::
si z = x + iy et z* = x - iy son conjugué
alors f(z) = (1 + i)z* ...
on reconnait donc une similitude plane indirecte ... de centre l'origine, de rapport |1 + i| et d'angle 
/4
et z --> fof(z) = 2z est évidemment bijective ....
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac