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Bijectivité d'une restriction de nonbijection ?!!
Salut
Il y a une question qui me tarraude :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n >= 1, et f un endomorphisme de E qui N'EST PAS BIJECTIF. Cela implique entre autres que Im(f) n'est pas E.
Considérons la restriction de f à Im(f). On peut définir ainsi l'endomorphisme g de Im(f), vérifiant : pour tout x de Im(f), g(x)=f(x) (ainsi g est bien à valeurs dans Im(f)).
Que sait-on de la bijectivité de l'endomorphisme g ?
Peut-on être sûr de quelque chose ?
Im(f)={0}Salut 
Je ne suis pas sûr de bien comprendre là. Tu réduis à la fois le domaine d'arrivé et de départ?
Si c'est le cas alors la réponse est NON:
Prendre sur R² l'endomorphisme f qui envoie (1,0) sur (0,1) et (0,1) sur (0,0).
Ta fonction g c'est l'application nulle définie sur un ev de dimension 1.
Si tu réduis seulement l'espace d'arrivée alors la réponse est NON:
On a un problème évident de dimension.
Si tu réduis l'espace de départ seulement alors la réponse est NON:
On a un problème évident de dimension.
Bref, tu ne peux rien dire a priori.
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