Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première Produit scalaireTopics traitant de Produit scalaire [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

bloquage exo

Posté par pirce (invité) 23-09-06 à 13:18

bonjour, voila j'ai un exo ou je bloque vraiment.

voila l'énoncé:

dans un triangle ABC les medianes issus de A et B sont perpendiculaires.

demontrer que CA²+ CB= 5AB².

j'ai essayé ac le theoreme de la mediane mais sans succés.
est ce que qqn pourrait m'aider?

Posté par pirce (invité)re : bloquage exo 23-09-06 à 13:36

c CB² excusez moi

Posté par
littleguyre : bloquage exo 23-09-06 à 13:56

Bonjour

En appelant C' le milieu de [AB] et G le centre de gravité de ABC

- Le triangle GAB étant rectangle en G, on a \tex GC'=\frac{1}{2}AB (vu en troisième)

- D'autre part : \tex CA^2+CB^2=2CC'^2+\frac{AB^2}{2} (théorème de la médiane)

or CC'=3GC'(propriété du centre de gravité)

Donc \tex CA^2+CB^2=2(3GC'^2)+\frac{AB^2}{2}

- En utilisant les deux relations précédentes on aboutit au résulat.

sauf erreur et il doit y avoir plus simple.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : bloquage exo 23-09-06 à 13:58

Bonjour,

Je l'ai.
Attends quelques minutes...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : bloquage exo 23-09-06 à 13:58

En retard !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : bloquage exo 23-09-06 à 14:06

Je poste quand même, mais c'est moins bien que ce que littleguy a proposé.

Dans A'GB rectangle en G :
3$A'B^2=A'G^2+GB^2
3$\frac{BC^2}{4}=\frac{AA'^2}{9}+\frac{4BB'^2}{9} (1)

Dans B'GA rectangle en G :
3$AB'^2=B'G^2+GA^2
3$\frac{AC^2}{4}=\frac{BB'^2}{9}+\frac{4AA'^2}{9} (2)

On additionne (1) et (2) :
3$\frac{BC^2}{4}+\frac{AC^2}{4}=\frac{5}{9}\left(AA'^2+BB'^2\right) (3)

Or, d'après l'un des théorèmes de la médiane :
3$\left\{\begin{array}{rcl} \\ AA'^2 & = &\frac{AB^2}{2}+\frac{AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}\\ \\ BB'^2 & = &\frac{BA^2}{2}+\frac{BC^2}{2}-\frac{AC^2}{4} \\ \end{array}\right.

L'égalité (3) devient donc :
3$\frac{BC^2}{4}+\frac{AC^2}{4}=\frac{5}{9}\left(AB^2+\frac{BC^2}{4}+\frac{AC^2}{4}\right)

Donc :
3$\fbox{5AB^2=BC^2+AC^2}

Nicolas


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !