Pour répondre à la premiere question, il suffit de montrer que 1/15 G₊(a,b), ce qui revient à trouver les coefficients p et q appropriés, par exemple 2 et -3. Ca réponds aussi à la première partie de la deuxieme question. En suite pour prouver l'égalité avec 1/15, je pense que tu dois disposerd'éléments qui me menaquent...

Salut

Il est relativement clair que G n'est pas dense dans R. Donc alpha>0.
De plus, on a que pour tout u,v dans Z tel que u/3+v/5 >0:  u/3+v/5>=alpha.
Id est 5u+3v >= 15*alpha.
Mais 5u+3v est entier strictement positif... donc...
Par suite...

Pour la question d'après, bon ben suffit de montrer que 1 peut s'écrire sous laforme 5u+3v u,v étant entiers ce qui ma foi, n'est guère très compliqué...

merci!

pour répondre à la fin du message de 1 schumi 1 oui ce n'est pas du tout compliqué j'ai meme trouvé deux couples mais après comment déduire ce qu'il faut déduire?

et pour la première question je ne vois pas où ça mène ce que tu as fais! désolé j'ai du mal

Bonjour

En multipliant par 15, on commence par observer que l'inf de G+ vaut 1/15 de l'inf du sous-ensemble des nombres strictement positifs de {5p + 3q, p et q dans Z}.

Cet inf vaut 1 puisque 5(-1) + 3.2 = 1 (bon, ce début de phrase anticipe sur la question suivante!) et que si l'inf était un réel r strictement inférieur à 1, il existerait deux suites d'entiers (p_n) et (q_n) telles que 5p_n + 3q_n soit toujours non nul et tende vers r :

ceci est impossible puisqu'à partir d'un certain moment, 5p_n + 3q_n est un entier positif strictement inférieur à 1, donc est nul.

L'inf cherché est donc bien supérieur ou égal à 1/15 (et même égal d'après 5(-1) + 3.2 = 1).

Enfin, tu as dû montrer que si l'inf r de G+ est strictement positif (comme c'est le cas ici), alors G = rZ.

Il n'y a plus qu'à appliquer cela...

pour répondre à amauryxiv2 je ne vois pas trop comment procéder en ayant les valeurs de p et q dans la première question.

est ce que je dois ecrire par exemple (5p+3q)/15 et en prenant p=2 et q=-3 on trouve ce qu'il faut??

d'accord merci je comprends mieux c'est vraiment une simple application de ce que j'ai fait au début du dm.

Si cela ne vous dérange pas je bloque sur une autre question:

maintenant on pose a=1 et b=racine(3)

à partir de là il faut montrer que racine(3) est irrationnel

et justement il n'y a pas une propriété qui dit que G(a,b) est de la forme aZ si a/b est rationnel (je ne sais plus trop)

et ensuite il faut en déduire que G(1, racine3) est dense dans R en considérant =infG+(1,racine3)

pareil ici ça doit etre une application évidente mais qui ne l'est pas du tout pour moi

Je t'en prie (tu peux me tutoyer!).