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Niveau Maths sup
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Bornes supérieurs et inférieurs.

Posté par
Maxoudu94 13-11-08 à 23:38

Bonsoir, pourriez vous m'aider à résoudre un exercice dont voici l'énoncé :

Soit A une partie non vide et majorée de R et soit λ€R+. Montrer que Sup({λx / x€A}) = λSup(A).

Je ne sais pas quel est la méthode à utiliser.
Merci par avance...

Posté par
Nightmarere : Bornes supérieurs et inférieurs. 13-11-08 à 23:50

Salut

Procède par exemple par double inégalité.

Montre que le premier est en même temps inférieur et en même temps supérieur à l'autre.

Ou encore tu peux montrer que 3$\rm \lambda Sup(A) est un majorant de 3$\rm \{\lambda x, x\in A\} et que c'est le plus petit.

Les deux marches.

Posté par
Maxoudu94re : Bornes supérieurs et inférieurs. 13-11-08 à 23:55

D'accord j'essaie la deuxième méthode

Posté par
Maxoudu94re : Bornes supérieurs et inférieurs. 14-11-08 à 00:01

j'ai démontré que λSup(A) est un majorant de {λx} , mais je n'arrive pas à montrer que c'est le plus petit.

Posté par
Nightmarere : Bornes supérieurs et inférieurs. 14-11-08 à 00:11

Il faut utiliser une caractérisation de la borne sup.

On considère m un majorant de notre ensemble. On veut bien sûr montrer que 3$\rm \lambda Sup(A)\le m.

On sait déjà que (caractérisation de la borne sup) il existe un x dans A tel que 3$\rm sup(A)-\frac{m}{\lambda} < x \le sup(A)

En multipliant par 3$\rm \lambda :
3$\rm \lambda sup(A)-m < \lambda x \le \lambda sup(A)

Mais 3$\rm m\ge \lambda x

Donc 3$\rm sup(A)-m < 0, ie 3$\rm m > sup(A)

Posté par
Maxoudu94re : Bornes supérieurs et inférieurs. 14-11-08 à 00:19

J'ai du mal à saisir cette ligne : "On sait déjà que (caractérisation de la borne sup) il existe un x dans A tel que ..."
A vrai dire, j'étais bloqué la dans mon raisonnement

Posté par
Nightmarere : Bornes supérieurs et inférieurs. 14-11-08 à 00:25

On peut traduire le fait que sup(A) soit plus petit que n'importe quel majorant de A par :
3$\rm \forall \epsilon \in \mathbb{R}_{+}*, \exist x\in A, sup(A)-\epsilon < x \le sup(A)

Posté par
Maxoudu94re : Bornes supérieurs et inférieurs. 14-11-08 à 00:29

Et pourquoi epsilon est égal à m/λ ?


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