Ah, il y a aussi marqué que ledit groupe est "l'un des 17 groupes de pavages du plan". Ca m'aide pas trop vu que j'en connais aucun mais peut être que cela vous sera utile...

D'abord il s'agit du groupe des applications affines de la forme



Vérifie, mais je crois que c'est ça!

Ensuite, K est bien un carré où on n'a pas touché à l'intérieur, mais on a collé les bords de la manière suivante:

(0,y) est collé à (m,y) pour tout m, donc jusque là, pas de problème on obtient un cylindre et il reste les deux bords qui sont des cercles. Si on les collait normallement, on trouverait un tore.

Mais ces deux cercles sont collés en tournant à l'envers, puisque (x,0) est collé à (-x,1), et... c'est bien la bouteille que l'on trouve!

Bonjour Camélia

Quel imbécile! J'avais en tête comme définition d'une isométrie celle qu'on prend dans les ev... donc laissent invariants des cercles de centre O. Fatalement...

Merci.

Tiens c'est marrant... Depuis que je travaille avec des quotients en topo, je les avais jamais vu comme ça! C'est p'tet pour ça que je voyais rien en fait.

2) Montrez que K est compact et connexe.
Oui! Je vois pas trop ce que je peux dire de plus... La relation d'équivalence est fermée donc à peu près toutes les propriétés qui sont transportées sur K.

3) la projection R²->K est un revêtement.
Ben oui aussi! Le groupe qui agit sur R² est discret et son action est proprement discontinue. (Et puis surtout, on voit bien comment on va revêtir K).

4) Montrez qu'il existe un revêtement à deux feuillets S¹*S¹->K.
Là, j'arrive pas. Je vois pas comment le tore peut revêtir (qui puis est avec un double feuillet) la bouteille de Klein... Un nain dix? Juste question de voir le processus de revêtement.

Je te l'avais presque signalé! En fait, K identifie le plan un peu plus que le tore. L'idée est de remarquer que

est un revêtement à deux feuillets.

Après il faut s'arranger pour faire coller ça avec le tore et la description que tu as de K. (et je n'ai pas de formule sous la main, mais si tu ne t'en sors pas je peux chercher!)

Voilà, ça vaut le coup d'être explicité. Je note q la surjaction canonique je vois le tore T comme quotient et je note s la surjection canonique.

Soit définie par F(x,y)=(x,2y).

1) q o F est surjective. (évident)

2) q o F est constante sur les classes d'équivalence de qui définissent le tore.



3) Il en résulte une fonction continue, surjective, telle que

Je te laisse le plaisir de vérifier que c'est un revêtement à deux feuillets.

Intuitions: Dans mon précédent post j'avais construit K en collant d'abord les côtés horizontaux.

Si on colle d'abord les côtés verticaux, (x,0) avec (-x,1) on obtient un ruban de Möbius. Comme on sait, le bord de cdelui-ci est un cercle, dont il faut maintenant coller des points deux à deux. Arrivée là, je tournais le dos à ma salle, je defaisais ma queue de cheval et je la refaisais soigneusement en tortillant une fois l'élastique. C'est exactement le revêtement à deux feuillets de S¹ !

Arrivée là, je tournais le dos à ma salle, je defaisais ma queue de cheval et je la refaisais soigneusement en tortillant une fois l'élastique. C'est exactement le revêtement à deux feuillets de S¹ !

Joliiiieee! J'arrivais pas à moi ma pile d'assiette qui sortait du tore pour aller se confondre sur la bouteille (contrairement à R² où tout se voit on ne peut plus clairement). Je pense pouvoir m'en sortir maintenant, 5 you.