Comment veux-tu qu'on te réponde si tu ne précises pas où tu prends tes y_j , x_i , g_i ?

Il semblerait que tu soit dans un groupe X dont la loi est notée * . Si c'est le cas * est-elle commutative ?

soit A une partie du groupe g on appelle  groupe engendré par A et on note gA l'intersection de tous les sous groupes de g qui contiennent A. gA est bien un groupe car l'intersection de sous groupe est un groupe.
on appelle B=xi^ai où xi A et ai=1 ou ai=-1. on veut montrer que B=gA
en 2 parties. partie 1: bgA (j'ai compris la dem)
partie 2: mq que gAb qui revient à montrer que B est un sous groupe qui contient A
on va donc montrer que x.y^-1 B pour x et y dans B.
on a ensuite ce que j'avais précédemment posté
soit y=yjbj où bj=1 ou -1 et les j allant de 1 à m


                                             -bm-j+1
ensuite on me donne y^-1=y           (  y^-1 est le symétrique )
                                             m-j+1

j'avais x=xi^ai les i allant de 1 à n

et le cacul x*y^-1=zi^gi i allant de 1à n+m

je ne comprend pas du tout les caculs.merci de me les detailler/expliquer

Soient donc (G,.) un groupe , A une partie non vide de G et H le sous groupe de G engendré par A.

1.H contient donc A et A^-1 = { a^-1 | a A} .
Si n * et u : {1,..,n} A A^-1 , u(1)....u(n) H .
Si on pose H' = {u(1)....u(n) | n * , u : {1,..,n} A A^-1 } on a donc H H'.

2.Montrons que H' est un sous groupe de G (on aura alors H' H et donc H' = H )
  .e H' car A étant non vide contient au moins un élément a donc e = a.a^-1 H'.
.H' est stable car si x et y sont dans H' on peut trouver p , q entiers > 0 , u(1) , ....,u(p) , v(1),...,v(q) dans A A^-1 tels que x = u(1)....u(p) et y = v(1)...v(q) . Il est alors clair que x.y H'
.Soient x H' , p * , u(1) , ....,u(p)dans A A^-1 tels que x = u(1)....u(p).
Alors x^-1 = (u(n))^-1...(u(1))^-1 H'.


Il semblerait que tu n'aies pas remarqué que " l'inverse d'un produit est le produit des inverses dans l'ordre inverse "
(x.y)^-1 = y^-1.x^-1 ,(x.y.z)^-1 = ....

Lorsque tu as des ₁ⁿ ou des ₁ⁿ écris les premiers termes pour voir .