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calcul d'une integrale

Posté par
robby3 16-01-09 à 16:08

Bonjour tout le monde,
une question bizarre:

5$ \rm \forall n\in \mathbb{N}, a_n=\Bigint_{-1}^1(1-t^2)^ndt
soit
5$ \phi_n(x)=\frac{(1-x^2)^n}{a_n}\mathbb{1}_{[-1,1]}

je dois calculer 5$ \Bigint_{-1}^1 \phi_n(t)dt=\Bigint_{-1}^1 \frac{(1-t^2)^n}{\Bigint_{-1}^1(1-t^2)^ndt}dt
une idée?
au début je croyais que c'était de la forme u'/u mais visiblement pas vraiment...

Posté par
Camélia Correcteurre : calcul d'une integrale 16-01-09 à 16:15

Bonjour robby

Là c'est moi qui n'y comprends rien!

\int_{-1}^1 \frac{(1-t^2)^n}{a_n}dt=\frac{1}{a_n}\int_{-1}^1(1-t^2)^ndt=1, non?

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 16-01-09 à 16:17

bonjour Camélia

ah bah vu comme ça!
au temps pour moi!

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 16-01-09 à 16:40

dans la suite de l'exercice,je dois montrer que a_n\ge \frac{1}{n+1}
j'ai essayé la récurrence, mais ça ne semble pas terrible,j'ai regardé ce que ça donnait pour t\in [-1,1]...rien de bien non plus...
une autre idée peut-etre?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : calcul d'une integrale 16-01-09 à 17:06

Si on utilise le fait que pour t\in[0,1] on a 1-t^2\ge1-t\ge0 alors on peut écrire pour tout n\in\mathbb{N} :

2$\fbox{a_n=\int_{-1}^{1}(1-t^2)^ndt=2\int_{0}^{1}(1-t^2)^ndt\ge2\int_{0}^{1}(1-t)^ndt=2\left[-\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\frac{2}{n+1}} sauf erreur bien entendu

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 16-01-09 à 17:12

bonjour Elhor!
Ah oui d'accord!
(vu que c'est le début du probleme et que ça commence par des petits trucs comme ça...je crois que la suite va etre hard! )

merci!
je réfléchis à la suite du probleme(cad la convergence uniforme de la suite de fonction (\phi_n)_n vers la fonction nulle sur les intervalles ]-\infty,-a] et [a,+\infty[ pour a>0 )

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : calcul d'une integrale 16-01-09 à 18:11

Vu la définition de \phi_n cela revient à montrer la convergence uniforme vers la fonction nulle sur les intervalles [a,1] pour a\in]0,1].

Convergence uniforme pas évidente

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 16-01-09 à 18:48

effectivement Elhor, j'ai regardé ce que tu as fait sur l'autre topic, j'ai compris les calculs...et en fait vous aboutissez à la convergence uniforme de \phi_n sur [a,1] et ceci pour tout a>0.
donc en fait, dans votre raisonnement sur l'autre topic, je crois que c'est aussi valable sur [a,+\infty[
par contre je ne comprend pas comment on aboutit à la convergence uniforme sur tout compact de [-1,1] ne contenant pas 0 à partir de la convergence sur [a,1].
en fait je ne comprend ta phrase:

Citation :
car un tel compact est contenu dans une partie de la forme [-1,-a]\cup[a,1],pour a\in ]0,1[
.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : calcul d'une integrale 16-01-09 à 19:34

Soit K un compact de [-1,1] tel que 0\notin K comme K est fermé son complémentaire est un ouvert contenant 0

et par conséquent on peut trouver a\in]0,1[ tel que ]-a,a[\subset[-1,1]-K c'est à dire K\subset[-1,-a]\cup[a,1]

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 16-01-09 à 22:56

ok Elhor!
Merci! je mettrais la suite du probleme ce week-end (et oui il y a une suite!! )

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 17-01-09 à 19:02

la suite du probleme:

Citation :
Soient 5$ f une fonction continue sur 5$ \mathbb{R} et 5$ A>0
on définit 5$ f_n sur 5$ \mathbb{R} par 5$ f_n(x)=\Bigint_{-1}^1 f(x-t)\phi_n(t)dt \\
i)Montrer si 5$ \nu\in ]0,1[ alors:

5$ \rm \lim_{n\to +\infty} sup_{x\in[-A,A]}\Bigint_{-1}^{-\nu}|f(x-t)-f(x)|\phi_n(t)dt=0 \\
et
5$ \rm \lim_{n\to +\infty} sup_{x\in[-A,A]}\Bigint_{\nu}^1|f(x-t)-f(x)|\phi_n(t)dt=0 \\

ii)Soit 5$ \epsilon >0
Justifier l'existence d'un 5$ \rm \nu \in ]-1,1[ tq pour 5$ x\in [-A,A] et 5$ t\in[-\nu,\nu],|f(x-t)-f(x)|\le \frac{\epsilon}{3}

iii)Montrer que 5$ (f_n)_n converge vers 5$ f,uniformément sur 5$ [-A,A]
iv)Vérifier que si 5$ f est non nulle hors d'un segment 5$ [-r,r] 5$ (r>0) alors chaque 5$ f_n est un polynome


je n'ai pas eu trop le temps d'y réfléchir aujourd'hui...mais je n'ai déjà pas beaucoup d'idées...alors si jamais y'a des trucs qui vous sautent aux yeux,je suis preneur!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : calcul d'une integrale 18-01-09 à 00:50

\fbox{i} En notant 3$\fbox{M=\sup_{x\in[-A-1,A+1]}\left|f(x)\right|} (quantité positive finie par continuité de f) on peut écrire :

3$\fbox{\sup_{x\in[-A,A]}\int_{-1}^{-\nu}\left|f(x-t)-f(x)\right|\phi_n(t)dt+\sup_{x\in[-A,A]}\int_{\nu}^{1}\left|f(x-t)-f(x)\right|\phi_n(t)dt\le2M\int_{[-1,-\nu]\cup[\nu,1]}\phi_n(t)dt}

et comme \phi_n converge uniformément vers 0 sur [-1,-\nu]\cup[\nu,1] ...

\fbox{ii}

Utiliser La continuité uniforme de f sur [-A-1,A+1] ...

\fbox{iii} Simple conséquence de \fbox{i} et \fbox{ii} ...

\fbox{iv} énoncé à vérifier ... sauf erreur bien entendu

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 18-01-09 à 14:02

salut Elhor!

pour i)ok!

pour ii) comment sait-on que f converge uniformément sur [-A-1,A+1]?

par ailleurs, je comprend mal ce que nous dit la question i):

est-ce que ça nous dit que 6$ \Bigint_{-1}^1(f(x-t)-f(x))\phi_n(t)dt converge uniformément vers 0 sur [-A,A]?

pour la question iv) l'énoncé est exact et on me dit de considérer que 6$ f_n(x)=\Bigint_{-\infty}^{+\infty}f(x-t)\phi_n(t)dt

Posté par
mouss33re : calcul d'une integrale 18-01-09 à 17:18

pour répondre à une de tes questions!

f est continue sur R donc en particulier sur tout compact.

Or une fonction continue sur un compact y est uniformément continue.

d'où le résultat sur [-A-1,A+1]

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 18-01-09 à 17:45

ah oui! merci!
t'as compris la question i)?

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 19-01-09 à 16:01

pour le ii) on dirait Heine sur [-A,A] mais je ne comprend pas l'hypothese t\in [-\nu,\nu]
et aussi, petite rectification de l'énoncé, \fbox{\nu\in]0,1[}.

je n'ai toujours pas saisi la question i),je comprend qu'est ce qui s'y passe!

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 21-01-09 à 11:25

je reprend!

pour la iv) j'ai ça:

6$ f_n(x)=f*\phi_n(x)=\phi_n*f(x)=\Bigint_{\mathbb{R}}f(t)\phi_n(x-t)dt
or 6$ f_n s'annule sur hors de 6$ [-r,r] donc:

6$ f_n(x)=\Bigint_{-r}^r f(t)\phi_n(x-t) dt et si 6$ r<\frac{1}{2} alors on a

6$ f_n(x)=\Bigint_{-r}^r f(t)\frac{(1-(x-t)^2)^n}{a_n}dt
et la formule du binome de Newton termine l'affaire.

Enfin, derniere question du probleme:

Citation :
Déduire de tout ce qui précede que toute fonction continue sur un segment [a,b] est limite uniforme sur [a,b] d'une suite de polynome
(on pourra prolonger convenablement f en une fonction continue sur \mathbb{R})


Autrement dit,le but du probleme est de redémontrer par une méthode autre que les polynomes de Bernstein le théoreme de Weierstrass...

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 23-01-09 à 21:43

si vous avez une idée pour la derniere question(cf post juste avant), je suis preneur!
(si en plus on peut comparer la vitesse de convergence par rapport aux polynomes de Bernstein, alors je serais comblé)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : calcul d'une integrale 24-01-09 à 19:10

donc f est supposée nulle hors d'un segment [-r,r] et non pas :

Citation :
iv)Vérifier que si f est non nulle hors d'un segment [-r,r] (r>0) ...

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:13

ah oui! pardon Elhor!
Au temps pour moi!

par contre pour la question 4) iii)...

la convergence uniforme de f_n vers f sur [-A,A];
je regarde:

|\Bigint_{-1}^1 f(x-t)\phi_n(t)dt-f(x)|
mais je ne parviens pas à utiliser i) et surtout ii) pour arriver à quelque chose...une piste?

Posté par
Rodrigore : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:18

Le point clé est que vu \large \int_R \phi_n(t)=1

Posté par
mouss33re : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:23

alors voila ce que j'ai fais:
comme l'intégrale de Phi(t) vaut 1 sur -1,1 tu peux écrire f(x)=\Bigint_{-1}^{1} f(x)\Phi_n(t) dt

donc |f_n(x)-f(x)|=|\Bigint_{-1}^1 (f(x-t)-f(x))\phi_n(t)dt|\le \Bigint_{-1}^1 |f(x-t)-f(x)|\phi_n(t)dt

et cette intégrale tu la décompose de -1 à -éta , -éta à + éta et éta à 1

et en fait chaque intégrale tu va pouvoir la majorer par /3 par i) et ii)
donc sup_{[-A;A]} |f_n(x)-f(x)|\le \epsilon d'ou la convergence uniforme sur [-A,A]


Je vois pas ce que ca pourrait être d'autre et je pense que le espilon sur 3 dans la question d'avant serfvait à tonmber sur un epsilon à la fin.

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:23

Ok Merci Rodrigo, ça roule tout seul aprés!

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:25

ok ok mouss,c'est bien ce que j'ai fait...et en fait avec la question i) tu as que chaque truc à partir de l'integrale,tu peux le majorer aussi par un epsilon/3..d'ou le epsilon à la fin...mais ça,c'est anecdotique!

Une idée pour l'ultime question?

Posté par
Rodrigore : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:27

Ben pour la dernière écrit l'intégrale sur [-1,1]. Et le \phi_n(x-t) te donne ton polynome en x

Posté par
mouss33re : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:29

t'as reçu mon mail robby?

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:30

La derniere question c'est:

Déduire de tout ce qui precede que tout fonction continue sur un segment [a,b] est limite uniforme sur [a,b] d'une suite de polynomes(on pourra prolonger convenablement f en une fonction continue sur \mathbb{R}.

(pour la question 4)iv) c'est ok

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:31

mouss>oui,j'y ai meme répondu!

PS:conséquence de la tempete, je n'ai plus de net j'ai moi,donc je vais pas pouvoir rester longtemps, mouss va poursuivre la discussion!
il m'expliqueras ça demain matin!

Posté par
mouss33re : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:34

lol! dsl je suis pas retournez voir mes mails!

pour la denrière question, si personne nous aide, ca va être dur de conclure!!!

Posté par
Rodrigore : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:36

Ben c'est fini, non?

Posté par
robby3re : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:39

en fait on a montrer que pour une fonction f quelconque,continue sur \mathbb{R}, pour A>0; elle était limite uniforme d'une suite de fonction polynomes sur [-A,A], c'est bien ça?

donc je vois pas trop ou intervient le prolongement par continuité....

Posté par
Rodrigore : calcul d'une integrale 26-01-09 à 14:43

Ben il faut juste que tu dise si tu a une fonction f continue sur [a,b], alors tu peux la prolonger en une fonction continue a support compact c'est tout.

Posté par
mouss33re : calcul d'une integrale 26-01-09 à 15:27

ah oui d'accord en fait on la prolonge par continuité sur [-A,A} avec [a,b] inclu dans [-A,A} c'est ça?


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