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Calcul de déterminants

Posté par
ginji 11-11-08 à 10:34

Bonjour,voilà mon petit problème :

Soit A la matrice
x1
   x2      (b)
      x3
(a)       .                    
               xn
                      
Mn(), où a et b sont des réels distincts et xi.
Soit M = (mij)ijMn() où mij=1 pour tout (i,j).

1. Montrer que det(A+xM) est un polynome de degré 1.
2. Calculer det(A-aM) et det(A-bM) et en déduire det(A).

Donc voilà je sais pas comment faire, je suis un peu perdu.
Merci de m'aider

Posté par
Tigweg Correcteurre : Calcul de déterminants 11-11-08 à 11:06

Bonjour,

pour la question 1 il te suffit d'observer que det(A+xM) est le déterminant de la matrice A à laquelle on a rajouté x à chaque coefficient.
Si tu remplaces chacune des lignes (Li) de ce déterminant pour i supérieur ou égal à 2 par (Li) - (L1), tu te retrouves avec un déterminant qui n'a des x qu'à la première ligne.

En développant selon la première ligne, on obtient bien un polynôme du premier degré.

Pour la question 2, il suffit d'appliquer la question 1 avec x = -a puis x = a et de faire quelques calculs...

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 11-11-08 à 11:20

Ca va un peu trop vite pour moi
xM donne
x
  x   (0)
    x
(0)   .                    
        x
donc A+xM donne
x1+x
     x2+x       (b)
          x3+x
    (a)        .                    
                 xn+x
Mais après je vois pas ce que donne ta méthode. Et en cours je n'ai pas appris à calculer le determinant en developpant selon une ligne mais avec gauss.

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 11-11-08 à 13:10

De l'aide svp

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 11-11-08 à 15:07

J'ai pas tout compris...
De l'aide please

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 11-11-08 à 16:53

quelqu'un ??

Posté par
Tigweg Correcteurre : Calcul de déterminants 11-11-08 à 17:29

Non, xM est la matrice dont chaque coefficient vaut x puisque M n'a que des 1 pour coefficients.
Donc on tombe bien sur ce que je t'ai indiqué dans mon premier message.

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 11-11-08 à 17:45

Donc A+xM donne

x1+x
     x2+x       (b+x)
          x3+x
    (a+x)      .                    
                 xn+x
Donc si je remplace toutes les lignes sauf la première par Li - L1 j'ai
x1+x
      x2-b          (0)
               x3-b
   (a-x1)           .                    
                       xn-b

Mais après je vois pas comment développer par rapport à la première ligne.
D'après ce que je sais, je ferai
| 1                             |
|      x2-b          (0)     |
|               x3-b           |     .(x1+x)
|   (a-x1)           .        |          
|                       xn-b   |

et ainsi de suite jusqu'à ce que j'ai : det = (x1+x)(x2-b)...(xn-b)
Est-ce que tu pourrais me montrer ce que tu ferai parce que moi je vois que ça...
Merci

Posté par
Tigweg Correcteurre : Calcul de déterminants 11-11-08 à 18:08

C'est faux, il faut rajouter x à CHAQUE coefficient de ta matrice initiale.

Aprsè avoir fait les opérations élémentaires Li - L1, seule la première ligne comportera encore des x.
Qu'obtiens-tu?

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 11-11-08 à 18:12

C'est ce que j'ai fais non ??

A+xM donne

x1+x
     x2+x       (b+x)
          x3+x
    (a+x)      .                    
                 xn+x      j'ai bien rajouter x à tous les coeffs ?
et après Li-L1 :
x1+x
      x2-b          (0)
               x3-b
   (a-x1)           .                    
                       xn-b

je vois que ça moi donc comme c'est faux je sais pas...

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 11-11-08 à 19:04

Est-ce que tu pourrais me détailer comment tu ferai ??

Posté par
Tigweg Correcteurre : Calcul de déterminants 11-11-08 à 19:48

Ok ça doit être tes notations que je ne comprends pas, vu qu'on dirait que tu n'as rajouté x qu'uns seule fois en-dessous de la diagonale.
En fait inutile de tout expliciter, dis juste qu'aucune ligne exceptée la première ne contiendra plus de x après les opérations Li - L1.

A ce stade, développe selon la première ligne, tu auras une somme de termes du type (ax+b).D, donc un polynôme de degré 1.

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 11-11-08 à 20:00

Pour mes notations, ça veut dire que à gauche de la diagonale j'ai des (a+x) partout et à droite des (b+x).
Et je me rend compte que j'ai fais une erreur pour après les opérations élémentaires, j'ai plutôt :
x1+x  b+x    b+x  ....b+x
         x2-b          (0)
                  x3-b
   (a-x1)              .                    
                               xn-b

mais après développer selon une ligne sur une matrice comme celle là je sais pas faire. Jusqu'à maintenant j'ai calculer mes déterminant en m'aidant de gauss.

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 11-11-08 à 20:10

Je me suis encore trompé ma matrice après calcul serait :
x1+x   b+x    b+x     ....    b+x
(a-x1) x2-b          (0)
(a-x1) (a-b) x3-b
  .      .      .        .     .        
(a-x1) (a-b) (a-b)     ......   xn-b

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 11-11-08 à 22:08

j'ai beau chercher je trouve toujours pas...

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 12-11-08 à 09:08

je trouve [(x2-b)(x3-b)...(xn-b)]x + x1(x2-b)(x3-b)...(xn-b).
C'est bon ???

Posté par
franzre : Calcul de déterminants 12-11-08 à 11:03

A+xM = \(\array{ccccc$x_1+x & b+x & b+x & \cdots & b+x\\a+x & x_2+x & b+x & \cdots & b+x\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ a+x & \cdots & & x_{n-1}+x & b+x \\a+x & \cdots & \cdots & a+x & x_{n}+x }\)

Tu peux faire l'opération suggérée par  TigWeg mais je préfère l'opération L_i\longleftarrow L_i-L_{i-1} (en commençant de la n° ligne et en remontant à i=2) qui conduit à :


\det(A+xM) = \|\array{ccccc$x_1+x & b+x & b+x & \cdots & b+x\\a-x_1 & x_2-b & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & a-x_{n-2}\; & x_{n-1}-b &0 \\0 & \cdots & 0 & a-x_{n-1}\; & x_{n}-b }\|

Tu peux refaire l'opération sur les colonnes l'opération C_i\longleftarrow C_i-C_{i-1} (en commençant de la n° ligne et en remontant à i=2) qui conduit à :

En développant par rapport à la 1° ligne tu obtiens

\det(A+xM)=(x_1+x)\Delta_1 +\Bigsum_{i=2}^n (-1)^{i+1}(b+x)\Delta_i où \Delta_i est le déterminant d'une matrice indépendante de x donc


4$\det(A+xM)=x.\left(\Bigsum_{i=1}^n (-1)^{i+1}\Delta_i\right) + \left(x_1\Delta_1 +b\Bigsum_{i=2}^n (-1)^{i+1}\Delta_i\right)                CQFD

Posté par
franzre : Calcul de déterminants 12-11-08 à 11:40

\det(A-aM)=\|\array{ccccc$x_1-a & b-a & b-a & \cdots & b-a\\0 & x_2-a & b-a & \cdots & b-a\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & & x_{n-1}-a & b-a \\0 & \cdots & \cdots & 0 & x_{n}-a }\|=\Bigprod_{i=1}^n(x_i-a)=\Delta_a

de même          \det(A-bM)=\Bigprod_{i=1}^n(x_i-b)=\Delta_b

En supposant a\neq b et en écrivant 3$\det(A+xM)=\alpha.x + \beta on peut résoudre le système

3$(S)\Longleftrightarrow\{\array{ccc$\alpha.(-a)+\beta & = & \Delta_a\\\alpha.(-b)+\beta & = & \Delta_b}\.

On trouve
4$(S)\Longleftrightarrow\{\array{ccc$\alpha & = & -\frac {\Delta_a-\Delta_b}{a-b}\\ \\ \beta & = & \frac {a\Delta_b-b\Delta_a}{a-b}}\.

\det(A)=\det(A+0.M)=\beta donc

4$\red \det(A) = \frac {a\Bigprod_{i=1}^n(x_i-b)-b\Bigprod_{i=1}^n(x_i-a)}{a-b}

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 12-11-08 à 13:57


Sans cours et seulement avec des applications concrètes et simples pour trouver des déterminants, j'étais censé pouvoir faire ça

Et bien je te remercie franz, je vais essayer de m'y retrouver dans tout ça et je reviendrai poser des questions si j'y comprends toujours rien.
Merci aussi à toi Tigweg d'avoir pris du temps pour m'aider.

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 12-11-08 à 15:34

Citation :
Tu peux refaire l'opération sur les colonnes l'opération Ci <- Ci-Ci-1(en commençant de la n° ligne et en remontant à i=2) qui conduit à :


Il manque quelque chose non ?? Tu me dis de développer par rapport à la première (ce que je ne sais pas faire) mais y'a pas la matrice sur laquelle je dois faire ça.

Et j'ai pas très bien compris ce qu'était i

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 12-11-08 à 16:13

Même avec ça j'y arrive pas
il me faut plus de détails.

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 12-11-08 à 18:37

pour la deuxième question j'ai compris c'est plus simple mais pour la première j'arrive toujours pas à faire en sorte d'avoir que des 0 sur une ligne ou une colonne pour développer selon la première ligne.

Help !!

Posté par
ginjire : Calcul de déterminants 12-11-08 à 20:00

help

Posté par
Tigweg Correcteurre : Calcul de déterminants 13-11-08 à 10:02

Bonjour,

et désolé je n'ai pas pu venir depuis quelques jours.
Déjà je crois que franz a interprété d'une autre manière que moi ta matrice initiale:

en-dessous de la diagonale, n'y a-t-il que des a, ou bien le coefficient a n'apparaît-il qu'une fois en-dessous de la diagonale (ce que je pensais) ?

Quoi qu'il en soit, pour la question 1 il est inutile de n'avoir que des 0 pour développer selon la première ligne, ginji.

La formule de développement selon la première ligne te dit que tu multiplies son premier terme par le déterminant obtenu en "rayant" la ligne et la colonne initiales qui le contiennent (ici la première ligne et la première colonne), ce que franz a appelé 1.

Puis tu soustrais au résultat le deuxième terme de la première ligne multiplié par le déterminant obtenu en "rayant" la ligne et la colonne initiales qui le contiennent, etc...en alternant les signes.

Les déterminants i obtenus étant indépendants de x, le résultat est bine un polynôme du premier degré en x.


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