Pour les racines d'un polynome quelconque, moi j'utiliserai les formules de viete. Qui mettent en relation les racines avec les coefficients du polynome.

pouvais vous me donner plus de détail concernant la technique du pgcd étant donné que c'est la seul que j'ai vu en cour?

ha pour la multiplicité des racines il suffit de diviser P par le pgcd de P et de P'
il me reste donc une question si la racine est pas calculable à partir de S je peut refaire un pgcd de S et de S' ?

Pgcd(P,P')=S n'a plus que des racines simples, les racines multiples de P
ex

n'a que des racines simples et donc cela ne sert à rien de faire pgcd(S,S')
Pour trouver les racines de S il n'y a de méthodes pour toutes équations que jusqu'au degré 4 pour les calculer en fct des coefs

cela fait intervenir pas mal de choses en degré 4
en degré 3 il y a déjà pas mal de choses à dire

une chose étonnante :
Si un polynôme de degré 3 à coefs rationnels a 3 racines réelles il est impossible d'exprimer ces 3 racines par des formules algébriques en fonctions des coef ss faire intervenir un des nombres complexes . C'est ce pb qui a conduit à l'invention des nombres complexes. voir exercice 12.4 du livre Théorie de GALOIS DE J.P.ESCOFIER

oui pour ton exemple, je sait bien que faire le pgcd de
S et de S' n'a aucun intérêt pour cela que je précise "si pas évident"
en faite la méthode du pgcd je l'est apliqué pour p(x)=
la je trouve une racine -1 simple
ensuite sa donne p(x)=

la je fait le pgcd de Q et
qui donne comme pgcd
la je trouve 2 racines doubles, le cas la est simple car avec le pgcd les racines sont évidente mais si elle ne le sont pas que puis-je faire en utilisant toujours cette méthode?

cette méthode a ses limites que je t'explique plus haut si le degré de
P divisé par pgcd(P,P') (polynome ss racines multiples)    
>4

ha ok merci !

Autre question:
soit un polynôme

(1)le polynôme est t'il irréductible dans [X]? dans [X]? justifier briévement

pour [X] si je me souvien bien il éxiste toujours une racine si p(X) est au moin de degré >=2
pour R[x] je dirai non avec ce que je montre ensuite mais il demande briévement donc je voie pas !

(2)Calculer le pgcd de P et P'
->

(3)(a)Soit a Démontrer que: pour tous polynôme A, a est une racine multiple de A si et seulement si a est une racine de pgcd(A,A')

alors oui je sait que tous racine de pgcd(A,A') est mutiple mais comment montré que c'est si et seumlement si?

(b)P a t'il une racine multiple dans ?
je fait P(x) divisé par le pgcd(P,P') je trouve
x1/x2=

(4)
Décomposer P en produit de polynôme irréductibles dans [x], puis dans [X]


Mais pour  [X] je ne vois pas comment faire ?

"regroupe les racines conjuguées sur [X] pour retrouver les facteurs sur [X]"
je ne comprend pas ce que tu veux dire?
sur [x] j'ai

(x+\frac{2+isqrt(8)}{2})^{2}(x+\frac{2-isqrt(8)}{2})^{2}

cela donne deux fois le facteur irréductible

salut

dans ton 1e exemple ton poly Q est symétrique en les coef donc 0 n'est pas racine et si X est racine alors 1/X est racine donc en factorisant par X² et en posant X=x+1/x  et en calculant les puissances de cette somme on peut se ramenner à un poly du 2e degré en x puis factoriser....

ha j'avais mal comprit, je cherchai les racines sur R[X].