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Calcul de somme

Posté par
Moik 03-11-09 à 21:26

Salut,
je bloque sur un exercice de calcul de somme le but étant de trouver d'abord

n
k (k parmi n)
k=0

puis
n
k(k-1) (k parmi n)
k=0

pour cela j'ai tenté
In=k(k parmi n)= k (n!/(n-k)!k!)
In= n (k-1 parmi n-1)
In=n(k parmi n) - n(k-1 parmi n)
In=n(2^n)-nn!/(n-k+1)!(k-1)!
In=n(2^n)-n/(n+1)k (k parmi n+1)
In=n(2^n)-n(k-1 parmi n)
et je bloque

                                                      

Posté par
blangre : Calcul de somme 03-11-09 à 21:31

Bonsoir

Un grand classique !

Prouve et utilise que 3$ k {n \choose k}=n{n-1 \choose k-1} .

Posté par
blangre : Calcul de somme 03-11-09 à 21:32

Oh pardon, j'avais mal lu ton début de preuve dans lequel tu utilises la formule que je viens de citer. Je reprends

Posté par
Moikre : Calcul de somme 03-11-09 à 21:34

je l'ai fait en deuxième ligne je sais pas comment écrire le k parmi n c'est pour cela qu'on ne le voit pas

Posté par
J-Rre : Calcul de somme 03-11-09 à 21:35

on peut calculer s(x)=\bigsum_{k=1}^n kC^k_nx^{k-1}=(\bigsum_{k=1}^n C^k_nx^{k})'=((x+1)^n-1)'=n(x+1)^{n-1}
donc ta somme vaut s(1)=n2^{n-1}
fait pareil pour l'autre.

Posté par
J-Rsalutations 03-11-09 à 21:36

oui moi à la ramasse je laisse le relai @+

Posté par
blangre : Calcul de somme 03-11-09 à 21:38

3$ \sum_{k=0}^{n}k {n \choose k}=\sum_{k=1}^{n}k {n \choose k}=\sum_{k=1}^{n}n {n-1 \choose k-1}=n\sum_{k=1}^{n}{n-1 \choose k-1}=n\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}=n2^{n-1}.
Voilà

Posté par
Moikre : Calcul de somme 03-11-09 à 21:39

juste une question ou passe le k dans la deuxième égalité

Posté par
Moikre : Calcul de somme 03-11-09 à 21:43

merci pour les explications
je comprends mieux la seconde
pour ce qui est de la première je ne comprends pas ou passe le k dans la deuxième égalité

Posté par
blangre : Calcul de somme 03-11-09 à 21:44

Si ta question s'adresse à J-R, ses primes sont des primes de dérivation.

Posté par
numero10re : Calcul de somme 03-11-09 à 21:45

Salut,

Remplace le k par 0 et tu comprendras.

ça me rappelle un éxo de colle ça .

Posté par
Moikre : Calcul de somme 03-11-09 à 21:46

merci

Posté par
Moikre : Calcul de somme 03-11-09 à 21:53

pour la suite

k(k-1) (k parmi n)
k²-k (k parmi n)
k² (k parmi n) - k (k parmi n)
kn (k-1 parmi n-1) - n (k-1 parmi n-1)
kn (k-1 parmi n-1) - n2n-1
et la encore je cale

Posté par
blangre : Calcul de somme 03-11-09 à 21:58

Si tu veux rester dans le même esprit, prouve et utilise que si k>1:
3$k(k-1) {n \choose k}=n(n-1) {n-2 \choose k-2} .

Posté par
Moikre : Calcul de somme 03-11-09 à 22:06

je cale encore plus
je retombe sur mon premier calcul en développant et je vois pas du tout comment arriver au second

Posté par
Moikre : Calcul de somme 03-11-09 à 22:22

comment puis je trouver k²(k parmi n)

Posté par
blangre : Calcul de somme 04-11-09 à 08:05

Je te l'ai dit, même chose que pour l'autre somme :
3$ \sum_{k=0}^{n}k(k-1) {n \choose k}=\sum_{k=2}^{n}k(k-1) {n \choose k}=\sum_{k=2}^{n}n(n-1) {n-2 \choose k-2}=n(n-1)\sum_{k=2}^{n}{n-2 \choose k-2}=n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}{n-2 \choose k}=n(n-1)2^{n-2}.

Posté par
Moikre : Calcul de somme 04-11-09 à 12:16

je voyais pas le passage du k(k-1)(k parmi n) au n(n-1)(k-2 parmi n-2)
et en utilisant la m^eme technique je peux trouver k (k parmi n) cos(k) ?

Posté par
blangre : Calcul de somme 04-11-09 à 13:19

Citation :
et en utilisant la m^eme technique je peux trouver k (k parmi n) cos(k) ?


Ben oui...

Posté par
Moikre : Calcul de somme 04-11-09 à 14:25

et pour utiliser une autre méthode, est-ce que j'ai droit de dire que
k n\choose k cos(k)= n\choose k (sin(k))'

Posté par
blangre : Calcul de somme 04-11-09 à 14:56

Bien sûr. C'est d'ailleurs la méthode que t'a proposé J-R hier.

Posté par
Moikre : Calcul de somme 04-11-09 à 14:59

je pensais avoir compris le truc ... mais non
j'essais avec k (-1)^k n\choose k   pour k [0,n]
ce qui équivault à
= k (-1)^k n\choose k   pour k [1,n]
donc
= k (-1)^k n n-1\choose k-1   pour k [1,n]
donc
=n k (-1)^k n n-1\choose k 1^(n-1-k)  pour k [0,n]
donc
=n (-1+1)^(n-1)

j'aimerais savoir ou je me trompe et comment je dois m'y prendre, s'il vous plait.


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