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Calcul général du groupe de Galois.
Posté par 1 Schumi 1
Bonsoir à tous, 
Un exercice sympa et instructif, la clâââsse quoi. 
Mais je bloque et j'aurai aussi des questions à vous poser.
Voici pour commencer l'énoncé:
Citation :
Soit![\rm p(t)=t^d+a_1t^{d-1}+a_d\in K[X]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\rm p(t)=t^d+a_1t^{d-1}+a_d\in K[X])
un polynôme (unitaire, de degré d) séparable à coefficients dans un corps K et 
,...,
(de sorte que =\Bigprod_{i=1}^d(t-\zeta_i))
) ses racines dans son corps de décomposition L. On définit la résultante de Kronecker de 
comme
![\rm s(t)=\Bigprod_{\sigma\in\mathbb{S}_d}(t-\Bigsum_{i=1}^{d}u_i\zeta_{\sigma(i)})\in L[u_1,...,u_d,t]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\rm s(t)=\Bigprod_{\sigma\in\mathbb{S}_d}(t-\Bigsum_{i=1}^{d}u_i\zeta_{\sigma(i)})\in L[u_1,...,u_d,t])
.
(Imaginer que s est le polynôme en t dont les racines sont les combinaisons linéaires})
à coefficients des indéterminées 
). Montrer que 
est en fait à coefficients dans 
et qu'il est invariant par 
(agissant par permutation sur les variables 
,...,
). Soit 
un facteur irréductible quelconque de dans ![\rm K[u_1,...,u_d,t]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\rm K[u_1,...,u_d,t])
(on le prendra unitaire). On considère le sous-groupe 
de 
formé des permutations 
qui laisent invariant. Montrer que est conjugué, dans , au groupe de Galois )
de sur vu comme un groupe de permuatons sur 
.
En admettant que la décomposition en facteurs premiers dans![\rm \mathbb{Q}[u_1,...,u_d,t]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\rm \mathbb{Q}[u_1,...,u_d,t])
est algorithmique, expliquer pourquoi ceci fournit un algorithme théorique permettant de calculer le groupe de Galois de n'importe quel polynôme sur 
(ie, le problème du calcul du groupe de Galois est décidable), mais expliquer pourquoi cet algorithme est inutilisale en pratique.
Soit
(Imaginer que s est le polynôme en t dont les racines sont les combinaisons linéaires
En admettant que la décomposition en facteurs premiers dans
Vous n'êtes pas le seul à trouver ses notations pourries...
Plus sérieusement maintenant: La première partie (le 1er paragraphe) ok, c'est fini. C'est la deuxième partie qui me pose problème (l'histoire de l'algorithme). En fait, je vois bien pourquoi ça va marcher mais j'arrive pas bien à l'expliquer clairement. Comme c'est vachement important (et zoli) j'aimerais bien réussir à le faire.
Si vous avez une idée donc, je suis prenant. (Surtout pas la soluce, j'ai envie de faire le maximum seul, je vais encadrer le résultat après
).
Merci d'avance.
Ayoub.
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