Bonjour, je vous soumet une question d'un exo où j'ai trouvé la réponse, mais je me demande si une réponse plus "élégante" existe.

Soit M(a,b,c) = a ³c ³b
                      b  a  ³c
                      c  b   a

a,b,c étant des complexes, et ^*.

U = 0 0 ³
      1 0  0
      0 1  0
Ceci nous donne M(a,b,c) = aI + bU + cU² ( montré auparavant).

J'ai déjà montré que l'ensemble des M(a,b,c) était aussi celui des matrices carrées d'ordre 3 qui commutent avec U. Et que si B appartient à cet ensemble, et B inversible, alors B^-1 aussi.

J'ai également trouvé une matrice de passage qui permet de passer à une base où on a : D = P^-1UP , avec ;

P = ²  j²²  j²
          j    j²
     1      1     1


D =   0  0
      0  j 0
      0  0  j²

Et j'ai aussi montré que P^-1MP était une matrice diagonale.

Je dois alors montrer que peu importe la patrice diagonale que je prends dans M₃(), j'obtiens :

PP^-1
= {M(a,b,c)M₃()/a,b,c}

-Je l'ai montré, mais en calculant P^-1, et en montrant qu'en faisant le produit PP^-1, j'obtenait bien une matrice de la forme M(a,b,c). Je me demande donc, si quelqu'un a une idée d'une démarche plus "jolie"


Merci