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calcul matriciel
Voici un exercice sur lequel je bloque:
Soit f appartenant à l'ensemble des applications linéaires de E, E dim finie
-Si f projecteur montrer rg(f) = Tr(f)
-si rg(f)=Tr(f)=1 montrer que f est un projecteur
- et si rg(f)=1 ?
La seul chose que je sais c'est que La trace d'un endomorphisme ne dépend pas de la base dans laquelle on écrit sa matrice.
Sinon je sais également que f²=f pour un projecteur
Mais je vois pas comment traiter l'exercice.
Je prends donc la base B=(Kerf, Imf)
On prend M matrice de f; on ecrit la matrice,
on obtient des 0 sur toute les lignes avec les vecteurs de Kerf
on obtient des coef arbitraires sur les autres lignes
On sait également que Trf=Tr(M)=0+0+..+aii+ann
Rgf: on peut ecrire la formule du rang ? dimE= dimKerf + rgf
rg(f)=dimE- dimKerf
J'ai l'impression que je bricole bcp mais je n'avance pas bcp
Suis je sur la bonne voie ?
A ok
En reprenant les notations utilisées:
j'obtiens: Trf=n-i
et rgf=n-dimKerf
cela signifierai que dimKerf=i pourquoi ?
Y a un truc assez important qu'on n'utilise pas: f projecteur
Mais si tu l'as utilisé puisque tu t'es servi du fait que Ker f et Im f sont en somme directe, et pour remplir ta matrice tu t'es bien servi du fait que f projette sur Im f paralèllement à Ker f.
Attention Tr(f) = i avec i le nombre de 1 sur la diagonale. Et c'est exactement la dimension de Im f soit le rang de f 
merci bcp de ton aide; je m'étais même pas rendu compte que j'avais utilisé l'hypothèse
J'arriverai sans doute à faire la suite tout seul.
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