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calcul scientifique

Posté par
nosnos 29-04-09 à 00:51

Soit telque |i|=|i|.montrer qu'il existe u et n telsque:
|u|=1
i {1,...,n}, 0.
=u.

Posté par
Tigweg Correcteurre : calcul scientifique 29-04-09 à 00:57

Bonjour?S'il-vous-plaît?Merci?Et un énoncé pas clair en prime?

Posté par
nosnosre : calcul scientifique 29-04-09 à 01:00

Bonsoir.
je m'excuse!
l'enoncer c'est complet.

Posté par
nosnosre : calcul scientifique 29-04-09 à 01:02

je m'excuse encore une fois.
soit   n.

Posté par
jandri Correcteurre : calcul scientifique 29-04-09 à 11:25

Bonjour nosnos,

Tu as mal recopié ton énoncé: ce n'est pas qui doit être positif mais ce sont les i.
La démonstration se fait par récurrence sur n

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : calcul scientifique 29-04-09 à 21:49

Bonjour ;

On peut aussi montrer ce résultat en utilisant la caractérisation du cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Shwarz

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : calcul scientifique 30-04-09 à 20:07

Je m'explique :

On utilise la structure euclidienne canonique du plan complexe définie par le produit scalaire 4$\blue\fbox{<z,z^'>=\scr Re(z\bar{z^'})}

en élevant au carré on a 4$\fbox{\left|\Bigsum_{i=1}^{n}\alpha_i\right|^2=\left(\Bigsum_{i=1}^{n}\left|\alpha_i\right|\right)^2} c'est à dire 4$\fbox{\Bigsum_{1\le i,j\le n}\alpha_i\bar{\alpha_j}=\Bigsum_{1\le i,j\le n}|\alpha_i||\alpha_j|}

et en simplifiant on arrive à 4$\fbox{\Bigsum_{1\le i<j\le n}(\alpha_i\bar{\alpha_j}+\alpha_j\bar{\alpha_i})=\Bigsum_{1\le i<j\le n}2|\alpha_i||\alpha_j|}

ou encore 6$\blue\fbox{\Bigsum_{1\le i<j\le n}|\alpha_i||\alpha_j|-\scr Re(\alpha_i\bar{\alpha_j})\;=\;0}

et comme les quantités sommées dans ce dernier encadré sont positives (d'après Cauchy-Schwarz) on conclut qu'elles sont toutes nulles

le cas d'égalité nous dit alors que les \alpha_i sont colinéaires et de même sens et si u est un vecteur unitaire du sens commun aux \alpha_i

on a 5$\fbox{\forall i\in\{1,..,n\}\;,\;\alpha_i=|\alpha_i|u} ce qui s'écrit aussi 6$\red\fbox{\alpha=u\beta\\\alpha=(\alpha_1,..,\alpha_n)\in\mathbb{C}^n\\\beta=(|\alpha_1|,..,|\alpha_n|)\in\mathbb{R}_+^n\\u\in\mathbb{C}\;,\;|u|=1} sauf erreur bien entendu

remarque : cette preuve est faite pour n\ge2 (le résultat est trivial pour n=1)

Posté par
nosnosre : calcul scientifique 30-04-09 à 20:23

Merci beaucoup.


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