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calcul sur les complexes
Bonjour à ts
Je souhaite svp un petit peu d'aide pour cet exercice, merci d'avance!
A) Dét les racines de l'équation du 2nd degré : z^2 + Z + 1 = 0 , où z appartient à C
* St elles réelles ? non
* St elles conjuguées l'une de l'autre ? OUI
z1 = (-1-iV3) / 2
z2 = (-1+iV3) / 2
* Calculer leur somme et leur produit
z1+z2 = -1 = - (b/a)
z1z2 = 1 = (c/a)
B) Identifier le polynôme : (z-1).(z^2 + z + 1)
* Quelles en st les racines ?
1, (-1-iV3) / 2 , (-1+iV3) / 2
* En déduire les racines de z^2 + z + 1 =0
(-1-iV3) / 2 et (-1+iV3) / 2
Pourquoi cette question est-elle posée, on les connait depuis la première question, pire encore la prochaine question!
* Retrouver les résultats de la question précédente !
Qu'est ce qu'il faut retrouver ?
C) Vérifier que -1 est une racine de l'équation (1) : 8z^4 + 8z^3 -z -1 = 0
-1 est bien une racine de (1)
* En déduire une factorisation du polynôme : 8z^4 + 8z^3 -z -1, puis les solutions de (1)!
Et là je bloque!
Merci d'avance pour me corriger si nécessaire et m'aider pour cette question
Bonjour
Identifier le polynôme : (z-1).(z^2 + z + 1)
C'est z3-1 dont les racines sont les racines 3ièmes de 1
* En déduire une factorisation du polynôme : 8z^4 + 8z^3 -z -1, puis les solutions de (1)!
si -1 est racine, tu peux mettre (z-(-1)) soit (z+1) en facteur,
= (z+1) (polynome du 3ème degré) = (z+1)(8z3+az²+bz-1) et en développant et identifiant tu trouveras a et b.
OK je vous remercie!
Par contre je bloque également sur cette question :
* Donner l'expression de sin (3Q) et de cos (2Q) ss forme d'une expression polynômiale en sin (Q)
* En déduire une forme de l'équation (2) 8sin^3(Q) - 2sin(Q)sin(3Q) - sin(Q) - 3cos(2Q) + 2 = 0 où Q appartient à R et où n'intervienne que des puissances de sin(Q)
Merci d'avance
cos 2Q = 1-2 sin²Q c'est dans tous les cours et les bouquins!
pour sin3Q tu fais sin(2Q+Q)= ....(formules d'addition) et tu remplaces cos²Q par (1-sin²Q).
A toi! 
Re: Petite question supp
Identifier le polynôme : (z-1).(z^2 + z + 1)
qui est égal à z^3 - 1
Les racines st bien 1, (-1-iV3) / 2, (-1+iV3) /2 ??
J'ai également 8z^4 + 8z^3 - z -1 = ( z+1 ) ( 8z^3 -1 )
Et là ya pb je ne trouve pas les solutions de cette équation!!
Il y a -1, ..., ..., ...
Merci d'avance!!!
Les racines st bien 1, (-1-iV3) / 2, (-1+iV3) /2 ??
oui: ce sont les racines de l'equation z3 - 1 = 0 cad z3 = 1
les solutions sont les racines 3ièmes de l'unité, soit 1, j et j² cad les 3 nombres que tu as dits.
Et là ya pb je ne trouve pas les solutions de cette équation!!
Tu résous 8z3 - 1 = 0 cad 8z3 = 1 ou (2z)3 = 1
même raisonnement que pour la question précédente, sauf qu'au lieu d'avoir à la fin z = ..., tu as 2z = ...
Donc les solutions sont 1/2, j/2 et j²/2.
Sauf erreur...
ok je vs remercie !
J'ai encore une petite question !!
Les solutions de 8sin^4(Q) + 8sin^3(Q) - sin(Q) - 1 = 0
En posant z = sin(Q)
sin(Q)= 1 sin(Q)= 1/2 sin(Q)= (-1-iV3)/4 sin(Q)= (-1+iV3)/4 ???
ET
Les solutions de 8exp(4x) + 8exp(3x) - exp(x) - 1 = 0
En posant z = exp(x)
exp(x)=1 exp(x)= 1/2 exp(x)= (-1-iV3)/4 exp(x)= (-1+iV3)/4 ???
Merci de votre aide
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