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Calculer Imf et Kerf

Posté par
TheMax
09-12-09 à 11:58

Bonjour à tous,

après avoir fait quelques recherche dans ce forum et sur internet, je n'arrive pas à trouver d'aide pour m'expliquer.
Je ne parviens pas à terminer cet exercice:

Enoncé :
Soit l'endomorphisme qui dans une base B {e1, e2, e3} d'un E espace vectoriel de dimension 3 sur R, a comme matrice:
A = (-1 ; -3 ; 4)
     (-2 ; -2 ; 4)
     (-2 ; -3 ; 5)

1) Déterminer les nombres a et b pour que le vecteur e1'= e1 + ae2 + be3 ait une image nulle par f
2) On pose e2'=f(e2) et e3'=f(e3). Montrer que B'={e1', e2', e3'} forme une base de E
3) Ecrire la matrice A' de f suivant la base B'. En déduire Imf et Kerf

Mon problème es dans la troisième question pour déduire Imf et Kerf.

Je résume mes résultats:

1) a=1 et b=1 donc e1'=e1+e2+e3

2) dim B=3 et libre donc B' est une base de E

3) e1= 2e1' +e2' -e3'
   e2= e2' +3e1'
   e3= -4e1' -2e2' +e3'

Merci beaucoup pour vos explications et pour m'aider à résoudre ce problème.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Calculer Imf et Kerf 09-12-09 à 14:37

Bonjour

En fait tu as trouvé e'_1 de manière à ce qu'il soit dans le noyau. De plus e'_2 et e'_3 sont par définition dans l'image. Donc le boulot est fait!

Posté par
TheMax
re : Calculer Imf et Kerf 09-12-09 à 16:51

en fait je n'arrive pas à me représenter ce que c'est l'image et le noyau (scalaire, vecteur, ou EV...)

Je n'arrive donc à les noter clairement:

Imf=...
Kerf=...

Cette partie du cours me parait particulièrement difficile mais j'essaie tant bien que mal de m'y accrocher.

Merci pour la réponse et pour les explications!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Calculer Imf et Kerf 09-12-09 à 16:59

Le noyau est l'ensemble des VECTEURS tels que f(x)=0. L'image est l'ensemble de tous les f(x).

Posté par
TheMax
re : Calculer Imf et Kerf 09-12-09 à 18:56

Je propose donc pas bien sur de moi:

Imf= {(e1';e2';e3')E (e1;e2;e3) tq
e1'=e1+e2+e3
e2'=-2e1-2e2+4e3
e3'=-2e1-3e2+5e3 }

Kerf = {(e1;e2;e3) E tq f(e1;e2;e3)=0
0=e1+e2+e3
0=-2e1-2e2+4e3
0=-2e1-3e2+5e3 }

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