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Calculer un pourcentage annuel moyen d'augmentation
Bonjour, dans un exercice type bac de statistiques,
j'ai un tableau m'indiquant par année (de 1991 =1 à 2004 = 6) le nombre d'abonnés à un fournisseur d'accès à internet.
1 2 3 4 5 6
975 1443 2049 2930 4220 5850
on me demande de calculer le pourcentage annuel moyen d'augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004
je sais (préalablement calculé) que le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004 est de 500%
pour trouver le % annuel moyen d'augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004
"le corrigé" écrit :
Si t est le % annuel moyen d'augmentation du nombre d'abonnés au fournisseur A, on a :
(1 + 500/100 ) = (1 + t/100)^5
soit 6 = (1 + t/100)^5
Je me pose ici la question suivante : un % annuel moyen d'augmentation est-il le % qui multiplié (j'entends multiplier l'ensemble (1+t/100) par le nombre d'années me donne le % MOYEN d'augmentation?
D'autre part afin de résoudre cette équation, la correction utilise ln et exp(x)
il est écrit : les 2 membres étant strictement positifs, on a :
5ln (1+ t/100) = ln 6
ln (1 + t/100) = 1/5 ln6
1 + t/100 = exp ( 0,2 ln6)
(je ne comprends pas ce passage à l'exponentielle... )
t = 100(exp(0,2ln6)-1)
et on obtient t environ 43% soit une augmentation annuelle moyenne de 43%
je vous remercie d'avance !!
Maylis
Bonjour,
Je me pose ici la question suivante : un % annuel moyen d'augmentation est-il le % qui multiplié (j'entends multiplier l'ensemble (1+t/100) par le nombre d'années me donne le % MOYEN d'augmentation?
La réponse est non sauf si le pourcentage d'augmentation est faible , de qq. pour cent.
Exemple : une valeur x augmente de 2% par an sur 5 ans .
Elle devient x*1.02*1.02*1.02*1.02*1.02=x*1.025=1.10x (arrondi)
Et 2% , avec ton raisonnement donnerait 10% pour 5 ans .
Et x*1.10=1.10x
On trouve la même chose.
Si on prend 10% par an pdt 5 ans :
Le bon calcul donne : x*1.15=1.61x
Le mauvais calcul donne : 10% par an donne 50% en 5 ans et x devient : 1*1.5=1.5x.
1.61x dans un cas , 1.10x dans l'autre . Différence notable.
J'envoie ça.
Le calcul donne :
ln (1 + t/100) = 1/5 ln6
1 + t/100 = exp ( 0,2 ln6)
Et tu écris :
(je ne comprends pas ce passage à l'exponentielle... )
Il est écrit dans ton cours que :
Pour tout réel a > 0 on a : a=exp(ln a).
Tu peux aussi aller sur cette page :
http://www.sesabac.net/theories/THR_Fonction_Exponentielle.swf
Donc :
1 + t/100 = exp ( 0,2 ln6) donne :
t/100= exp ( 0,2 ln6)-1
t=[exp ( 0,2 ln6)-1]*100
qui donne bien 43%
et on peut vérifier que :
975*1.43*1.43*1.43*1.43*1.43=975*1.435=5830 qui est proche de 5850. Mais 43% est une valeur arrondie.
A+
Une faute de frappe dans le message de 10 h 14 :
Si on prend 10% par an pdt 5 ans :
Le bon calcul donne : x*1.15=1.61x
Le mauvais calcul donne : 10% par an donne 50% en 5 ans et x devient : 1*1.5=1.5x.
1.61x dans un cas , 1.10x dans l'autre . Différence notable.
C'est :
1.61x dans un cas , 1.50x dans l'autre . Différence notable.
merci papy bernie
mais ce que je ne saisis toujours pas c'est pourquoi l'on passe de
ln (1 + t/100) = 1/5 ln6
1 + t/100 = exp ( 0,2 ln6)
en enlevant ln du côté gauche, j'aurai fait de même du côté droit
alors que là on remplace 0,2*ln(6) par exp(0,2*ln(6))
je veux dire que j'ai compri que exp(ln(6))=6
mais pourquoi utiliser exponentielle ici?
par ailleurs 1/5 soit 0,2 est différent de exp(0,2)
je ne vois pas bien.. :s
par ailleurs comment font-ils pour passer de
( 1 + t/100)^5 = 6
à 5ln ( 1 + t/100) = ln(6)
il me semble que mettre un ensemble à la puissance 5 est différent que de le multiplier par 5..
Décidément ^^
est-ce qu'il n'existe pas un autre moyen que de passer par ln et l'exponentielle?
Il me semble qu'il est possible de répondre à cette question en 1ère sans non?
merci
Bonjour
Le Coefficient Multiplicateut Global est 5875/975 = 6
Ceci pour 5 évolutions ; donc le Coefficient Multiplicateur annuel Moyen (appelons-le CM) doit être tel que
CM5 = 6
et donc CM = 61/5 ce qui donne "environ 1,43097" et qui correspond à un taux anneul moyen d'environ 43,1%
Un coefficient multiplicateur de 1,43 correspond à une augmentation de 43% :
tu sais certainement qu'une augmentation de t% donne CM = 1 +(t/100)
Bonjour,
Je reprends cet ancien sujet, pour poser une question.
En reprenant l'enoncé du problème posé, supposant que les montants indiqués ne soit pas le nombre d'abonnés, mais des euros encaissés.
Comment fait t-on pour calculé une augmentation corrigé de l'inflation ?
Avec une augmentation constante : exemple 2% par an.
Avec une augmentation variable par exemple.
merci
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