Niveau autre

calculs avec les symboles de sommation finie

Posté par
christophe_ 15-09-11 à 19:04

Bonsoir,

J'ai un devoir à rendre et je bloque sur la première question.

Voici le début du sujet :

Calcul de $\sum_{k=1}^nk$ $n\choose k$

Soit f définie par $f(x)=\sum_{k=0}^n$ $n\choose k$ $x^k$ , x

1) En dérivant f sous deux formes, donner la valeur de $\sum_{k=1}^nk$ $n\choose k$ .

Pour la première forme j'ai utilisé le binôme de Newton et j'ai trouvé f'(x)=n(x+1)^n-1
Je ne vois pas comment faire pour la deuxième forme.

Merci de votre aide.

Christophe.

Posté par re : calculs avec les symboles de sommation finie 15-09-11 à 19:10

Bonsoir,

OK pour une première forme.
Pour obtenir la deuxième forme, f(x) étant une somme... f'(x) est la somme des dérivées.
Autrement dit, on a également $f'(x)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}kx^{k-1}$ .

On a donc $xf'(x)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}kx^k$ , et en utilisant la première forme que tu as trouvée $f'(x)=nx(x+1)^{n-1}$ .

Dès lors, pour obtenir la valeur de forme, il suffit d'évaluer f' en une valeur bien choisie...

Posté par re : calculs avec les symboles de sommation finie 15-09-11 à 19:11

Bonjour.

Dérive terme à terme l'expression de f sous forme de sigma

Posté par re : calculs avec les symboles de sommation finie 15-09-11 à 20:15

Merci pour votre rapidité !

Pour x=1, on a : $f'(x)=$ $\sum_{k=0}^n$ $n\choose k$ $k$ et $f'(x)=2n^{n-1}$
Or $f'(x)=$ $\sum_{k=1}^n$ $n\choose k$ $k + 1$
D'où $f'(x)-1=$ $\sum_{k=1}^n$ $n\choose k$ $k$
Donc $\sum_{k=1}^n$ $n\choose k$ $k = 2n^{n-1}$

Est-ce juste ?

Merci !

Posté par re : calculs avec les symboles de sommation finie 15-09-11 à 20:38

— Tu es sûr que c'est n qui doit être élevé à la puissance n-1 ?
— Pourquoi f'(x) = ... + 1 ? Que vaut k(k parmi n) pour k=0 ?

Posté par re : calculs avec les symboles de sommation finie 15-09-11 à 20:50

Pour la dérivée de f ?
Puisque f est de la forme f=uⁿ sa dérivée est de la forme f'=nu'u^n-1, non ?

J'ai fait la somme de k=1 à n donc je rajoute un terme pour "compenser" mais je me suis trompé, c'est plutôt "+n" vu que $n\choose 1$ $=n$

Posté par re : calculs avec les symboles de sommation finie 15-09-11 à 20:53

Oui, on est d'accord que $f'(x)=nx(x+1)^{n-1}$ .
Mais du coup, quand tu évalues en 1, tu obtiens $f'(1)=n\times 2^{n-1}$ (et pas 2n^{n-1}).

Sinon, quand tu fais la somme de k=1 jusqu'à n, tu supprimes le terme pour k=0.
Autrement dit, le terme que tu supprimes est 0*(0 parmi n)=0, autrement dit que tu commences à 1 ou à 0, ça ne change rien.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

algèbre en post-bac
28 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

calculs avec les symboles de sommation finie

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths