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Calculs de normes et de produits scalaires
Boujour a tous!
Voila je viens de commencer le produit scalaire et j'ai beaucoup de problémes. Voici des petis exos surement trés simple mais je n'y arrive pas:
Exo 1:
Soit 
(3;.1) et 
(2;4)
1)Calculer norme de, norme de , norme de 2, norme de .3, norme de + et norme de -.
2)Verifier sur cet exemple que:.= 1/4 [(norme de +)²-(norme de-)²]
3)Plus généralment, montrer que pour tous vecteurs et on a: .=expression de la question 2)
Et l'exo 2:
Soit et deux vecteurs tels que norme de =1 ; norme de =2 et .=1.
1)Calculer norme de 2-.
2)Soit A,B et C trois points tel que AB=2 et AC=. Quelle est la nature du triangle?
J'ai fait la quesion 1) de l'exercice 1 mais aprés je n'y arrive pas. MErci de m'aider.
U(x,y) alors ||U||=V(x²+y²)
->
U(3,1)
->
||U||=V(3²+1²)=V10
V(2,4)
||V|| =rac(2²+4²)=rac(20)=2V5
merci mais ça j'y suis arrivée pcq j'ai précisé je suis arivée toute la question 1), Au passage, une erruer d'enoncé dans le premier exo: (3;-1)
U+V(3+2,1+4) donc U+V(5,5)
||U+V||=rac(5²+5²)=rac(50)=5rac(2)
U-V(3-2,1-4) donc U-V(1,-3)
||U-V||=rac(1²+(-3)²)=rac(1+9)=rac(10)
||U+V||²=5²+3²=25+9=34
||U-V||²=1² +(-5)²=1+25=26
(1/4)[ ||U+V||²-||U-V||²]=(1/4)(34-26)=(1/4)(8)=8/4=2
3)on pose U(x,y) et V(x',y')
U+V(x+x',y+y') et ||U+V||²=(x+x')²+(y+y')²=x²+2xx'+x'²+y²+2yy'+y'²
U-V(x-x',y-y') et ||U-V||²=(x-x')²+(y-y')²=x²-2xx'+x'²+y²-2yy'+y'²
(1/4)[||U+V||²-||U-V||²]=(1/4)[(x²+2xx'+x'²+y²+2yy'²+y'²)-(x²-2xx'+x'²+y²-2yy'+y'²
=(1/4)(x²+2xx'+x'²+y²+2yy'+y'²-x²+2xx'-x'²-y²+2yy'-y'²)
=(1/4)(4xx'+4yy')=(1/4)(4)(xx'+yy')=xx'+yy'=U.V
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