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Caractérisation basique d'un corps

Posté par
fusionfroide 08-06-08 à 12:38

Salut

Comment montre-t-on l'équivalence suivante : A est un corps si et seulement si A et 0 sont les seuls idéaux de A ?

J'ai bien une idée pour la première inclusion mais je n'arrive pas à aboutir.

SI on suppose que A est un corps, alors \forall a \in A/\{0\}, \exist b \in A tel que a.b=b.a=1_A

Supposons que I \neq 0

Alors il faudrait montrer que 1_A \in I car alors I=A

Comme l'égalité est valable pour tout a \in A/\{0\}, est-ce que je peux prendre a dans I, ce qui impliquerait que a.b \in I et c'est fini.

Merci pour vos conseils !

Posté par
Nightmarere : Caractérisation basique d'un corps 08-06-08 à 12:54

Salut

Suppose I non réduit à 0 et considère x dans I dans nul. Si A est un corps x est alors inversible et 3$\rm x^{-1}x=1\in I donc I=A

Réciproquement, soit x dans A-{0}, l'idéal Ax n'est pas {0} d'où Ax=A.
Il existe donc y tel que yx=1. CQFD

Posté par
fusionfroidere : Caractérisation basique d'un corps 08-06-08 à 13:12

Salut Jord, merci pour ta réponse rapide !

Futé la deuxième implication !


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