Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Caractérisation d'une symétrie orthogonale hyperplane .
Bonjour à tous les habitants de l'île ;D ! J'éprouve quelques difficultés à démontrer la proposition suivante :
Soit f une isométrie de E un espace euclidien . f est une symétrie orthogonale hyperplane si et seulement si Ker(f-) est un hyperplan de E .
Bon courage !
Le sens trivial est le premier ( de gauche à droite ) . Mais c'est l'autre sens qui me pose problème .
Bonsoir ;
supposons que
soit un hyperplan de l'espace euclidien
le sous-espace (qui est une droite vectorielle de
) est stable par l'isométrie
(c'est du cours et c'est simple à vérifier)
et ainsi si est un vecteur non nul de
on a nécessairement
...
sauf erreur bien entendu
Merci elhor_abdelali , je comprends mieux cette proposition . Cependant pourrais-tu juste me spécifier pourquoi tu as f(u)=-u à la fin de la démonstration ?
Ker(f+Id) , si f est une symétrie orthogonale, si je ne me trompe pas.
Je m'explique :
si est une base de
( je note
la dimension de l'espace eucldien
)
on a pour tout
et comme conserve le produit scalaire on a aussi
pour tout
c'est à dire pour tout
c'est à dire
et comme est une base de la droite vectorielle
on a
et comme conserve la norme on a
on ne peut avoir car sinon u serait à la fois dans
et
donc ... sauf erreur bien entendu
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac