Bonsoir, j'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre, pouvez vous m'aider svp ??

Dans le problème,n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
M de M_n(R) est une matrice dite
- positive si tous les coeff de M sont positifs ou nuls (M0)
- strictement positive si tous les coeff de M sont strictement positifs (M>0)
- productive si elle vérifie : M est positive et il existe une matrice positive X de M_n,1(R) telle que X-MX>0
Si M et N sont 2 matrices de M_n(R), la notation MN (resp M>N) signifie que M-N0 (resp M-N>0)

1. soit A une matrice productive de M_n(R), A=(a_ij) où (1i,jn) et X une matrice positive de M_n,1(R) telle que X-AX > 0 . On note
a. montrer que X > 0 (à mon avis, il faut faire un raisonnement par l'absurde, mais je n'y arrive pas)

b. Soit Y M_n,1(R) telle que YAY. On note .
on désigne c le plus petit des réels y_j/x_j lorsque j décrit [|1,n|] et k un indice tel que c=y_k/x_k.
établir que . en déduire que c0 et que Y est positive.

c. Soit Y M_n,1(R) telle que Y=AY. en rémarquant que -YA(-Y), montrer que Y=0. En déduire que Ker(I_n-A) et par suite que I_n-A et inversible

d. montrer que pour toute matrice positive Y M_n,1(R), la matrice Z=(I_n-A^-1Y est positive (utiliser 1b). en déduire que (I_n-A^-1 est positive

2. Dans cette question, on considère une matrice positive B de M_n(R) telle que I_n-B soit inversible et telle que (I_n-B)^-1 soit positive. On note V = (I_n-B)^-1U où . Montrer que V-BV > 0. conclure

3. donner une caractérisation des matrices productives

merci et bonne soirée !