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caractériser un endomorphisme
Bonjour,
J'ai un exercice à faire et je bloque..
On rapporte R^3 à sabase canonique. Caractériser l'endomorphisme f de R^3 ayant pour matrice dans la base canonique:
M=1/3*(2 2 1
2 -1 -2
-1 2 -2)
J'ai vérifier que Mt*M=M*Mt=Id f est donc un automorphisme orthogonal
Puis det(f)=1 c'est donc une isométrie directe
Etant dans R^3 f est donc forcément une rotation..
C'est après que je bloque, j'essaye de déterminer les valeurs propres de f, je calcule donc det(f-aId)=0
mais ce que je trouve ne m'arrange pas du tout, je trouve det(f-aId)=1/27*(27+3a-a²-a^3).. mais je n'arrive pas à en déduire les valeurs propres..
J'ai donc essayé de calculer Ker(f-id) espérant trouver l'ensemble des points fixes, mais je trouve :
x+2y+z=0
2x-2y-2z=0
-x+2y-3z=0
Mais je ne trouve pas l'axe..
J'espère que vous pourrez m'aider,
Merci d'avance
Pauline
Bonjour
Si f est une rotation, elle a 1 pour valeur propre mais elle n'est pas diagonallisable, donc il n'y a pas d'autres valeurs propres réelles. Ceci étant dit, comme ton polynôme caractéristique ne s'annule pas pour a=1, j'ai des doutes sur sa correction...
En revanche, le système pour trouver les vecteurs propres pour 1 (l'axe) marche très bien:
En ajoutant la première et la seconde équation on trouve 3x-z=0, donc z=3x, en ajoutant la première et la troisième équation on a 4y-2z=0, donc z=2y. L'axe est engendré par le vecteur (2,3,6) par exemple.
bonjour,
c'est ce que j'avais fait au début, mais quand on vérifie par exemple dans la deuxième équation on a
2*1/3z-2*1/2z-3z différent de zéro.. ??
Pouvez vous me dire où est mon erreur dans on calcul de det(f-aid) car je n'arrête pas de le refaire, et je ne trouve pas mon erreur..
Ahlala je viens de trouver mon erreur !
quand j'ai fait f-aId, j'ai mis le 1/3 en facteur devant tout.. pour faire cela il fallait que je multiplie par 3 aId..
Je viens de reprendre...
Dans il y a aussi 1/3, donc en fait
... et ce n'est pas une rotation!
Il est probable que quand tu as calculé le polynôme caractéristique tu as laissé le 1/3 devant. Il faut le mettre dedans avant de mettre les -a sur la diagonale!
Non, je dis des bêtises... C'est bien une rotation!
Alors c'est ma résolution du sustème qui est fausse... Je le reprends...
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