Bonsoir,

Oui est un corps car car est irréductible sur .

Par contre si tu trouves 2 pour sa caractéristique alors son cadinal est .

salut info , alors j'ai mal compris la notion de cardinal, pq 2^4 s'il te plait?

K  est un  Z/2Z  espace vectoriel de dimension 4 .

Donc  2 choix pour la coordonnée 1, 2 choix Pour la deuxième ....etc....

oui lolo tu as raison, mais en fait dsl si je vais te paraitre un peu cancre mais pq il est de dimension 4?

est il possible de trouver une base de cet espace vectoriel?

Alors après réflexion je pense avoir trouvé une base. Soit a la classe de X dans le corps K que j'ai cité.

Je propose ceci comme base: {1,a,a²,a³}, qu'en pensez vous?

Maintenant si j'ai par exemple F:

K --> K
x --> x²

Comment je pourrais faire pour calculer F^n (a) pour tout entier n, dans la base que j'ai donné?

merci de votre soutien.

Au niveau des classes j'ai une petite question: on considère tjs le meme corps, c'est à dire Z/2Z[X] / (X^4 + X + 1).
Cela veut dire que si on a 2 polynomes A et A', A'- A est un multiple de X^4+X+1 vous etes d'accord?
Prenons le polynome X^6+X^4+X^2+1, il appartient bien à Z/2Z[X] vous êtes tjs d'accord? Je fais sa division euclidienne par X^4+X+1 et il me reste -X^3-X. Est ce que ce reste est une classe?
Je demande ça car dans par exemple Z/2Z, le nombre 3 appartient à la classe 1 car 3/2 il reste 1...
Merci pour votre soutien, j'essaye de travailler c'est pas évident.

Bonjour

Si tu poses a=cl(X), tu es supposé t'y tenir et tout écrire en fonction de a et de ses puissances.

Je ne suis pas sure que tu aies repéré le fait essentiel:

forment une base et , puisque dans ton quotient

Pour le polynôme de degré 6, tu as fait la division dans R, mais dans Z/2Z[X] -1=1. Ensuite tu écris que 3=1 dans Z/2Z ce qui est vrai, en revanche, vu que 2=0, il n'y a pas de 3/2.

Enfin, pour F, le mieux est d'écrire la matrice de F dans la base, puis de calculer ses puissances...

On a

donc la matrice est

merci camélia, merci bcp, je vais étudier ta réponse en détail, j'aurais besoin avant de quelques précisions s'il te plait au niveau des classes: mon corps K admet 2 classes tu es d'accord? Les voici:

Classe 0 = 0 + (X^4+X+1)*Q, en gros elle représente un idéal de X^4+X+1, Q est un polynome

Classe 1 = A + (X^4+X+1)Q, où A un est un polynôme de degré inférieur à Q.

Tu es d'accord avec cela?

Oui je n'ai surement pas repéré quelque chose d'essentiel en effet, ce qui me préoccupe le plus c'est cette fameuse classe a du polynome X, j'ai bcp de mal à saisir ce à quoi elle correspond concrètement...

Au niveau de ta réponse, peut on dire directement que a est générateur de K* ?

Non, ton corps, si on parle de a 16 éléments: toutes les combinaisons linéaires de avec des coefficients 0 ou 1.

oui tu as tout à fait raison ça commence à rentrer!!! mais est ce qu'on peut dire directement que a est générateur du corps?

J'aime pas trop le terme générateur pour un corps... est une base de l'espace vectoriel sous-jacent et on connait la multiplication.

En fait vu le corps fini  il y a de fortes chances que  K*  soit un groupe engendré par  a .

le fait que 1,a,a²,a³ implique t'il forécment que a est générateur? si ce n'est pas le cas comment prouver que a est générateur?

soit une base*

Bonsoir..

Le plus simple reste de parler de polynômes.

K = Z/2Z[X]/X^4+X+1

il est composé des classes des polynômes de la forme:



où u,v,w,t sont des éléments de Z/2Z.

donc K possède 16 éléments.

ça ne prouve pas que a est générateur de K* aussi esta

J'ai simplement montré qu'il y avait 16 éléments dans K.

( il suffit de vérifier que ces classes sont toutes distinctes et c'est trivial)...

oui c'est évident que les classe sont tous distinctes étant donné que le reste peut etre un polynome dont le degré va de 0 à 3 mais quel rapport avec le fait que a engendre le corps?

tout élément s'écrit sous la forme :


où a;b;c;d sont des éléments de Z/2Z et est la classe du polynôme X.

c'est bien la définition d'un corps engendré par 1 élèment, non ?

1.K est un corps qui contient x.
2. Tous les sur-corps de Z/2Z  qui contiennent x, contiennent

Bonjour,

Alors je résume : en tant que corps  K  est engendré sur  Z/2Z par  a  (classe de X) puisque tout élément de  K  est une expression polynomiale en  a.

Maintenant se pose la question "est-ce que  a  engendre  le groupe multiplicatif  K*" :
K*  est un groupe de cardinal  16-1 = 15  donc pour que  a  soit générateur il faut et il suffit que  a  soit d'ordre  15 .

L'ordre de  a  est dans tous les cas un diviseur de 1( (cardinal du groupe) donc c'est 1, 3, 5 ou 15 .
1 est impossible car a n'est pas 1, 3 est impossible car a³  n'est pas 1 non plus, tu calcules  a⁵  et tu conclus.

alors ça c'est une réponse , merci à esta lolo, camélia et tous les autres pour votre aide précieuse