dans Z/3Z tu n'as que 3 éléments 0,1,2 et comme c'est un groupe additif ( monogène veut dire qu'il y a un éléments tel qu'en lui appliquant n fois la loi de composition interne on parcours tous les éléments du groupe )

donc dans Z/3Z la notation 1^2 correspond à 1+1 donc à 2 et 1^3= 1+1+1 = 0 donc 1 engendre tout le groupe Z/3Z est bien monogène cyclique

le problème de wiki dans ce cas là vient du fait que les groupe sont soit notés avec la loi multiplicative soit avec la loi additive et ton exposant réfère soit à l'une soit à l'autre.

Bonsoir,

Un groupe c'est un ensemble + une loi.

Je suppose que tu veux parler du groupe (Z/3Z,+) ?

Oui il est monogène, engendré par la classe 1.

merci les gars , mais alors l'ordre de ce groupe quotient est en fait le nombre de classes qu'il possède?

Autre question importante: si je munie Z/3Z  de la multiplication, alors là vous êtes d'accord ce n'est plus un groupe monogène car comme vous le dites, il est composé de 3 éléments, 0,1,2, son élément neutre est 1.

Il n'existe aucun élément de ce groupe qui engendre par multiplication tous les éléments de ce groupe qu'en pensez vous?

Et quand vous dites que Z/3Z est engendré par la classe 1, je rappelle que la classe 1 ici est définie par tous les nombres  congrus modulo 3 , elle est comme ceci :

1 + 3*0 = 1
1+ 3*1 = 4
1 + 3*2 = 7 ...ils ont tous 1 comme reste

Mais cette classe n'engendre par le nombre 8 ou 11 donc comme pouvez vous dire que ce groupe Z/3Z , + est engendré par la classe 1 svp?

0*0=0
0*1=0
0*2=0
1*1=1
1*2=2
2*2=4=1

Donc non aucun élément n'engendre l'ensemble. Mais ne réfléchis pas sur les classes tu t'embrouille part du principe que 8=1 et que 11=2.

Ou alors si tu tiens à raisonner sur les classes : la classe de 1 engendre la classe de 2 et de 0 qui sont égales respectivement aux classes de 11 et de 12 et la classe de 1 est égale à la classe de 8.

euh donc Z/3Z n'est pas un groupe monogène on est d'accord?

l'ordre de ce groupe quotient est en fait le nombre de classes qu'il possède?

Exo :
Montrer que si p est premier, (Z/pZ)* est monogene. (Z/pZ* = Z/pZ privé de 0).
(Pas trivial).

Et bien entendu on considere la loi * et pas la loi +...


De là, tu peux tirer que (Z/3Z)* est monogene.
En effet 2^2=1 et 2^1=1.

non mais attendez je ne m'y retrouve plus, (Z/3Z, x) est monogène car la classe 1 engendre tous les éléments de ce groupe?

Faux!
Z/pZ est monogene pour + mais ca c'est trivial.

pour *, Z/pZ n'est pas monogene mais (Z/pZ)-(0) l'est si p est premier

d'accord, ça commence à s'éclaircir, merci pour votre soutien les gars et juste comme ça car je trouve nul part, sur le groupe quotient Z/3Z +, pouvez vous me donnez un exemple de relation réflexive svp?

PS: Z/3Z est un anneau commutatif, et pour etre un anneau en fait Z/3Z x n'a pas besoin d'être monogène?

Salut Dryss !

Encore plus fort, si K est un corps fini, K* est cyclique.

Ton exo en découle, p premier => Z/pZ est un corps (fini).

bonsoir

pardon de m'immiscer, mais je voudrait quand même signaler pour Serge que /3 muni de la multiplication n'est pas un groupe !!!

merci matou, ce n'est pas un groupe car aucune classe n'engendre toutes les autres en fait?

et je repose dsl cette question pour la 5eme fois lol : l'ordre du groupe c'est le nombre de ses classes?

non ! ce n'est pas un groupe tout simplement parce que 0 n'a pas d'inverse !

ok merci matou, et donc je repose la question pour la 7eme fois lol, l'ordre de Z/3Z se détermine comment, par le nombre de classes?

Comment définis-tu l'ordre d'un groupe ?

salut info, ben l'ordre d'un groupe c'est l'ordre du plus petit élément qui engendre ce groupe je pense...

qu'est ce que c'est l'ordre d'un élément?
Apprends les définitions avant d'essayer de faire des maths >.>

l'ordre d'un groupe c'est l'ensemble de ses éléments, donc dans mon cas l'ordre du groupe est 3?

encore une incompréhension due à cette mauvaise définition :
"l'ordre d'un groupe c'est son cardinal"  très utilisée malheureusement