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Centralisateur
Salut
L´exo est le suivant:
Soit n>0 un entier
[S][/n] le groupe symétrique
Pour tout t appartenant à [S][/n] on note :
C(t)= {s appartient à [S][/n] t.q. s t (s^(-1))= t }
On fixe un cycle c appartenant à [S][/n] de longueur n
a) Déterminer l´orbite X de c pour l´opération de [S][/n] par conjugaison
b) Déterminer cardinal(X) et cardinal(C(c))
c) Prouver que C(c)= <c> , le sous-groupe engendré par c
Soit maintenant t appartenant à [S][/n] un produit t= bc de cycles disjoints de longueurs l et k t.q l+k=n
d) M.q. C(t)=<b,c>
a) X= {s*c* (s^(-1)) t.q. s appartient à [S][/n]}
b) Formule des classes
card (X)= card([S][/n])/ card( stabilisateur(c))
card([S][/n])= n!
stabilisateur est un sous-groupe de [S][/n] donc son cardinal divise celui de [S][/n]
Pour la suite je suis bloqué pour le moment
Pouvez-vous m´aider svp?
Merci d´avance!
Bonsoir.
ce que je raconte est à vérifier......je ne garantis pas mes résultats....
groupe des permutations de [[1;n]]
c est un n-cycle....
l'ensemble de ses conjugués est l'ensemble des n-cycles, il me semble.....
ça doit venir que c = (c1;c2;c3.....cn)
et si d= (d1,d2,d3...dn)
la permutation s qui envoie ck sur dk
on a
ou le contraire.. c'est à vérifier par le calcul
donc card X = (n-1)!
Ok je vais essayer de le verifier mais cela voudrait dire que le cardinal du stabilisateur est égal à n
avec mon début du raisonnement?!
rebonjour...
1.Qu'est ce qui a été fait?
2.Tous les n-cycles sont conjugués ? vrai ou faux ?
comment le démontrer ?
question subsidiaire pour accordr nos violons:
(1;2) . (1,2,3) ça donne quoi?
et
(1;2) .(1;2,3) . (1;2) ça donne quoi?
votre premier truc donne la transposition(2,3)
et le deuxieme (1,3,2) donc on trouve bien un 3-cycle ,
mais pour la démonstration c´est plus compliqué!
j´ai pas encore réussi à la faire!
j´ai aussi essayé de montrer que le cardinal du stabilisateur est égal à n, mais sans succès!
Mais votre raisonnement m´est assez clair.
pour le reste de l´exo, avez-vous des conseils svp?
b) cardinal(C(c))?
c) Prouver que C(c)= <c> , le sous-groupe engendré par c
Soit maintenant t appartenant à [S][/n] un produit t= bc de cycles disjoints de longueurs l et k t.q l+k=n
d) M.q. C(t)=<b,c>
commençons par le début....les grands théorèmes c'est plutôt pour la fin....
et ça devrait devenir très clair.
s est une transposition, c est un n-cycle...
(1;2) .(1;2,3) . (1;2) ça donne quoi?
-------(1;3;2)----------------------
c'est à dire le cycle
voila ce qu'il faut commencer par montrer. assez facile, non ?
Ensuite on montre par récurrence que si s est un produit de k transpositions, on a encore la même propriété...
ainsi on aura montré que tous les n-cycles sont conjugués.....
est-ce clair? après que c'est clair, on passe à l'étape suivante en montrant que les seuls conjugués d'un n-cycle sont les n-cycles: c'est encore plus facile.....
oh pardon, j'ai écrit une bètise
(1;2) .(1;2,3) . (1;2) ça donne quoi?
-------(2;1;3)----------------------
mais c'est quand même juste....
c'est démontré ?
on passe à l'étape suivante en montrant que les seuls conjugués d'un n-cycle sont les n-cycles: c'est encore plus facile.....
donc l'orbite de c possède (n-1)! éléments...
car il y a (n-1)! n-cycles....
vrai ou faux ? et comment le démontrer?
ben je dirai
pour c(1) on a n-1 possibilités
et pour c(2) on a n-2 possibilités
et ...
donc il y a (n-1) ! cycles? ou est-ce que je dis des betises a cause de la fatigue?
exact....
moi, je dirais:
un n-cycle finit toujours par n...... (si on le désire)
et les n-1 premiers éléments sont le résuktat d'une permutation des n-1 éléments....
le petit b est fait...
passons au c)
c) Prouver que C(c)= <c> , le sous-groupe engendré par c
si s appartient à C(c), il faut montrer que s est une puissance de c
qu'est ce que ça signifie?
C'est pas tout à fait ce que je désirais comme réponse...
Reprenons ce qu'on sait:
Le stabilisateur possède n élèments...
les puissances de c correspondent toutes à un élément du stabilisateur et il y a n puissances de c....
si la correspondance est injective, alors on connait tous les élèments du stabilisateur....
exact ou non ?
re-bonjour.....
le centralisateur est l'ensemble des applications:
t ----> ck t c-k
pour le montrer, il y a une autre façon.
voila le brouillon
un n-cycle = (1; c(1); c²(1).......cn(1) )
mais on peut commencer ailleurs qu'à 1, en tournant k fois
il s'écrit aussi
( ck(1) ck+1(1)......cn+k(1) )
et d'après ce qu'on a vu pour le conjugué par t
on a t . c. t= c = (t(c1),t(c2)...t(cn))
on a t = ck
rebonjour
un n-cycle = (1; c(1); c²(1).......c^n(1) )
ce n´est pas un n-cycle?! on doit s´arrêter à n-1 non?
et comment est-ce qu´on trouve cette égalité?
t . c. t-1= c = (t(c1),t(c2)...t(cn))
Le stabilisateur s´écrit comment?
dans mon cours j´ai: G groupe E ensemble G opérant sur E donc
Stab(x)= {g dans G t.q. g.x= x}
donc ici , l´action est la conjuguaison et le groupe c´est S(n)
Stab(x)= {s dans S(n) t.q. s.x.s^(-1) = x} et c´est un sous groupe de S(n)
re-re-re-bon-jour.....
un n-cycle = (1; c(1); c²(1).......c^n(1) )
ce n´est pas un n-cycle?! on doit s´arrêter à n-1 non?
exact, j'avais écrit au départ sans le 1.....
et comment est-ce qu´on trouve cette égalité?
t . c. t-1= c = (t(c1),t(c2)...t(cn))
c'est ce que j'avais montré au départ sur la conjugaison:
c'est vrai quand t est une transposition et on démontrais par récurrence que c'est vrai pour n'importe quel produit de transpositions
Le stabilisateur s´écrit comment?
dans mon cours j´ai: G groupe E ensemble G opérant sur E donc
Stab(x)= {g dans G t.q. g.x= x}
donc ici , l´action est la conjuguaison et le groupe c´est S(n)
Stab(x)= {s dans S(n) t.q. s.x.s^(-1) = x} et c´est un sous groupe de S(n)
g.x = x
et ici g est une fonction.
c'est celle qui à x associe :
le stabilisateur est un sous groupe des fonctions inversibles de Sn dans Sn.
ok bien
juste cette égalité c = (t(c1),t(c2)...t(cn)) c car on a montré que les n- cycles sont les conjugués des n-cycles?!
donc comme le centralisateur contient que des puissances de c alors il est engendré par c?
donc pour la question
Soit maintenant t appartenant à [S][/n] un produit t= bc de cycles disjoints de longueurs l et k t.q l+k=n
d) M.q. C(t)=<b,c>
on peut faire de la meme manière?
dire que les deux cycles sont des produits de transpositions et puis?
c'est la même chose...
1. le stabilisateur contient b et c.....
2. si x appartient au stabilisateur..
on restreint à {b1;b2...bk} et on voit que x restreint à {b1..bk} est une puissance de b car c'est un stabilisateur.
on restreint ensuite à c1;...cm et pareil.c'est une puissance de c
et il faut vérifier sur les éléments qui ne sont ni dans {b1...bk} ni dans c1..cm ils sont invariants...
conclusion
x = b^z . c^u
à mettre au propre....
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