pourtant il y a juste à écrire ce que veut dire A et B commutent en termes de matrices et raisonner sur tes indices i,j,l...

J'ai fait ceci, mais il y a peut-être bien plus simple...

AB = BA
<=> (AB)_(i,j) = (BA)_(i,j)
<=> SOMME (k=1 à n) a_(i,k) b_(k,j) = SOMME (k=1 à n) b_(i,k) a_(k,j)

Supposons A telle que :

Pour tout k de [| 1 ; n |], a_(i,k) = 0 (dont a_(i,j) = 0)
et pour tout k de [| 1 ; n |]\j, a_(k,j) > 0 et a_(i,j) = 0
Alors nécessairement pour tout k de [| 1 ; n |]\i, b_(i,k) = 0 et b_(i,i) est différent de 0.
De même on trouve :
Pour tout k de [| 1 ; n |]\j, b_(k,j) = 0 et b_(j,j) est différent de 0.

Donc : (AB)_(i,j) = (AB)_(j,i) <=> Pour tout k de [| 1 ; n |], b_(k,k)  est différent de 0 et les autres coefficients de B sont nuls.
D'où le centre de M_n est l'ensemble Vect <I_n> des matrices scalaires.

Voilà. Est-ce que ça convient ? est-ce que y'a plus simple ?
Merci de vos lumières !

Bonjour

Oui, il y a plus simple... enfin, moins calculatoire... le résultat étant clair en dimension 1, je suppose la dimension supérieure à 2.

Soit f un endomorphisme non nul du centre... Soit x tel que et y=f(x). Supposons que x et y soient linéairement indépendants. Il existe un endomorphisme u tel que u(x)=x et u(y)=x+y. Alors f o u(x)=y et u o f(x)=x+y ce qui est impossible. Donc x et y sont liés. Comme x est non nul, il existe un scalaire tel que

Maintenant prends x et x' distincts non nuls. On a et . Utilise un automorphisme tel que v(x)=x' pour montrer que