Inscription / Connexion Nouveau Sujet
changement de base
Bonjour !
Voila j'ai un exercice sur les changement de base et je n'arrive pas à comprendre comment faire . Voici l'énoncé :
Montrer que les vecteurs (1,1,1) , (-1,1,0) et (1,0,-1) forment une base de R^3 . (Ca, je sais le faire) .
Calculer les coordonnées respectives des vecteurs (1,0,0) , (1,0,1) , (0,0,1) dans cette base.
Donc voila je sais que la base de départ c'est la base canonique (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1).
Il faut donc trouver la matrice de passage P pour passer de la base canonique à l'autre ?
Je sais que PX'=X ou X est l'ancienne et X' la nouvelle, mais je n'arrive pas à la trouver ni a trouver les nouvelles coordonnées.
Merci d'avance de me guider un peu .
On bien on pose :
(1,0,0) = x*(1,1,1) + y*(-1,1,0) + z*(1,0,-1)
(1,0,1) = x*(1,1,1) + y*(-1,1,0) + z*(1,0,-1)
(0,0,1) = x*(1,1,1) + y*(-1,1,0) + z*(1,0,-1)
et on résoud le système
Pour faciliter le travail, je propose de poser
Puis :
Soit P la matrice suivante :
Nous constatons qu'avec ces notations :
[1]
De même si les coordonnées de ,
et
dans le repère
,
,
sont données par la matrice Q :
on aura :
[2]
En reportant [2] dans [1] on obtient :
Or la quantité n'est autre que
, si R=PQ !
Et l'on sait
que
que
que
ce qui veut dire que R est la matrice unité !
En conséquence, la matrice Q contenant les coordonnées des dans la base des
n'est autre que l'inverse de la matrice P contenant les coordonnées des
dans la base des
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac