Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... IUT/DUT AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau IUT/DUT
Partager :

Classe cyclotomique

Posté par
Maksman 21-03-09 à 18:57

Bonjour, j'ai à faire la classe cyclotomique de l'élément B = X+X3+X4+X5 dans le corps F2[x]/(1+X+X6), moi j'ai trouvé que 2 éléments dans cette classe, la voici :

Cb = {X+X3+X4+X5, 1+X+X3+X4+X5}

Car l'élément suivant que je calcule est égal au premier élément de cette classe, donc je l'arrête ici, puisuq'il me semble que tous les éléments d'une classe cyclotmoque doivent être distincts, est-ce exact  ?

Merci beaucoup

Posté par
Tigweg Correcteurre : Classe cyclotomique 21-03-09 à 23:07

Bonjour,

qu'appelles-tu classe cyclotomique? Je n'ai jamais vu ce mot!

Cela désigne-t-il l'idéal engendré par la classe de B dans ce corps?

Sinon, as-tu bien montré qu'on avait affaire à un corps?

J'ai laborieusement prouvé que 1 + X + X^6 était irréductible dans F2[X],donc qu'il engendre bien u idéal maximal, mais ce n'est pas immédiat.

Petite question subsidiaire : tu es vraiment en IUT? Cette question est de niveau L3 ou M1 !

Posté par
Maksmanre : Classe cyclotomique 21-03-09 à 23:39

Oui, je suis en IUT Informatique, dernière année.

Voici la définition d'une classe cyclotomique :

La famille {, 2, 2^2, ..., 2^t-1} telle que ces t éléments soient tous distincts, mais que 2^t appartienne à cette famille, est appelée la classe cyclotomique de .

Avec une proposition ; On a 2^t=

Voilà

Merci beaucoup, mais j'aimerais savoir si ce que j'ai fait est juste, moi il me semble que oui, mais comme c'est important j'aimerais avoir plusieurs avis...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Classe cyclotomique 21-03-09 à 23:47

D'accord!

Encore deux questions puis je pourrai te répondre:

1) Tu as sans doute oublié une parenthèse dans 2^(t-1) ?

2) Doit-on bien considérer la classe cyclotomique de la classe de B dans le corps de ton énoncé?


Posté par
Maksmanre : Classe cyclotomique 21-03-09 à 23:49

Réponses :

1). Oui
2). Oui

Merci !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Classe cyclotomique 22-03-09 à 00:24

Ouf!

Je trouve comme toi deux éléments!

Amusant ce genre de calculs!!

Je te détaille mon raisonnement:

5$\displaystyle\blue\fbox{B^2-B=X+X^2+X^3+X^4+X^5+X^6+X^8+X^{10}=(X^6+X+1)(X^4+X^2+1)+1=1}



donc 5$\displaystyle\blue\fbox{B^2\neq B}



En revanche, 5$\displaystyle\blue\fbox{B^4-B=X+X^3+X^5+X^{12}+X^{16}+X^{20}=(X^6+X+1)(X^{14}+X^{10}+X^9+X^8+X^6+X^5+X^2+X+1)=0}


Qu'est-ce qui te semble bizarre?





donc 5$\displaystyle\blue\fbox{B^4=B}



La classe de B est donc 5$\displaystyle\blue\fbox{B,B^2}



Et j'ai bien moi aussi 5$\displaystyle{B^2} puisque 5$\displaystyle\blue\fbox{B^2=X^{10}+X^8+X^6+X^2=(X^6+X+1)(X^4+X^2+1)+X^5+X^4+X^3+X+1=X^5+X^4+X^3+X+1}

Posté par
Tigweg Correcteurre : Classe cyclotomique 22-03-09 à 00:26

PArdon, la fin de mon message ("qu'est-ce qui te semble bizarre?") s'est déplacée au milieu par inadvertance!

De plus, je voulais dire que j'avais comme toi pour B².

Posté par
Maksmanre : Classe cyclotomique 22-03-09 à 00:29

Merci beaucoup pour ta réponse, ça me rassure...

Je voulais être sur de ce résultat car à partir de celui je devais calculer le polynôme minimal, chose faite.

Encore merci pour ton aide !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Classe cyclotomique 22-03-09 à 00:41

Avec plaisir!


Juste pour information: tu parles du polynôme minimal de la classe de B dans le corps de départ, sachant que B^4 = B?

Si oui, que trouves-tu?

Posté par
Maksmanre : Classe cyclotomique 22-03-09 à 01:23

Je calcule avec la formule :

g(Y) = (Y+).(Y+2).(Y+4)... pour tous les éléments de la classe cyclotomique et le résultat doit être indépendant de X.

Je trouve g(Y) = Y4+Y2+1 il me semble..

Posté par
Tigweg Correcteurre : Classe cyclotomique 22-03-09 à 01:27

Si on parle bien du polynôme minimal de B, tu es d'accord que B est racine de Y^4 - Y?

Si oui, son polynôme minimal est forcément un diviseur de ce polynôme, or le polynôme que tu proposes ne l'est pas.

Posté par
Maksmanre : Classe cyclotomique 22-03-09 à 10:42

Désolé je me suis trompé de résultat ; en appliquant la formule que je donne plus haut je trouve le polynome g(Y) = Y2 + Y + 1

Posté par
Tigweg Correcteurre : Classe cyclotomique 22-03-09 à 12:06

Exactement!

De plus, ce diviseur de Y4 - Y coïncide avec l'unique polynôme irréductible de coefficient dominant 1, à coefficients dans le corps F2[x]/(1+X+X6, qui annule B :
il s'agit donc bien du polynôme minimal de B sur ce corps.

Remarque l'analogie avec le nombre complexe j = e2i/3 et le fait que son polynôme minimal sur C est X² + X + 1 = (X - j)(X - j²)


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !