Niveau Maths sup

classe déquivalence

Posté par
J-R 29-06-09 à 11:19

bonjour,

G un groupe. H un sous groupe de G.

j'ai du mal à déterminer précisément $\bar{x}$ (où x dans G) de la relation d'équivalence $\R$ sur G tq:

$x\R y \ <=> \ xy^{-1}\in H$

si ca serait pour x dans H on est d'accord que $y \in H$ mais là ....

merci

Posté par re : classe déquivalence 29-06-09 à 11:37

Bonjour.

La classe d'équivalence de $x$ est $Hx = \{hx, h\in H\}$

Posté par re : classe déquivalence 29-06-09 à 11:38

Théorème de Lagrange ?

Posté par re : classe déquivalence 29-06-09 à 11:41

Bonjour,

$y \in \overline{x}$

$\Leftrightarrow xy^{-1} \in H$

$\Leftrightarrow \exists h \in H ,\, xy^{-1}=h$

$\Leftrightarrow \exists h \in H ,\, y=h^{-1} x$

$\Leftrightarrow \exists h \in H ,\, y=hx$

$\Leftrightarrow y \in \left\{ hx \,| \,h \in H \right\}$

Donc

$\overline{x}=\left\{ hx \, | \ h \in H\right\}$ que l'on note souvent $Hx$

et pour la relation $x \mathcal{R} y \Leftirightarrow x^{-1}y \in H$ on a

$\overline{x}=xH$

Ce qui est intéressant c'est que si l'un des deux ensembles quotients(obtenus avec les relations d'equivalences precedentes) est fini alors l'autre aussi et ils ont en plus le même cardinal que l'on appele indice de H dans G et que l'on note souvent [G:H].
Il ya d'ailleurs toujours bijection entre ces deux ensembles quotient

Posté par re : classe déquivalence 29-06-09 à 11:44

oué c'est vrai je vois pas où était le pb ... merci

infophile : c'est le but de l'exo ...

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