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Classe équivalence et polynome caractéristique.
Bonjour à tous,
J'ai un petit problème à propos d'une bijection entre 2 classes d'équivalences :
On note GL(E) les automorphismes de E, un k-espace vectoriel de dimension n fini(k le corps 
, 
ou 
), et GLn(k) les matrices inversibles de Mn(k).
J'ai montré que les relations et
sont des relations d'équivalences sur ces deux ensembles tq
ssi il existe 
dans GL(E): =-1 donc ssi et sont conjugués.
De meme , MN ssi il existe P dans GLn(k) : M=P-1NP donc ssi M et N sont semblables.
1) On se propose de montrer que l'application, qui a un automorphisme de GL(E) associe sa matrice dans une base B, induit une bijection entre les classes d'équivalence .
2) Ensuite on montre que le polynôme caractéristique de deux éléments conjugués de GL(E) est le même. Suite à quoi, on demande de dire quels sont les polynômes caractéristiques possibles pour les éléments de GL(E) et combien y-a-t-il de classes de conjugaison différentes admettant le meme polynome caractéristique ?
Pour le 1) j'ai du mal à le montrer du fait qu'on travaille sur des classes d'équivalence...Je ne sais pas comment procéder.
2) J'ai du mal à bien saisir le sens de la question. Les polynomes caractéristiques lorsque que k= sont les polynomes de et pour k=
ce sont les polynomes ou Q est un produit de polynome de degré 1 et R produit de polynome de degré 2 à racines imaginaires ?
Je vous remercie par avance pour l'aide que vous m'apporterez.
Bonjour
C'est une vaste question! Elle n'est certainement pas posée comme ça au détour d'un exo!
Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, mais la réciproque est fausse et une caractérisation en termes de polynômes demande beaucoup de travail.
Par ailleurs, n'importe quel polynôme unitaire de degré n est le polynôme caractéristique d'une matrice (sa matrice compagnon).
Bonjour et merci beaucoup de venir me répondre.
Pour ce qui est de la question 1), elle est posé telle qu'elle.
En ce qui concerne la question 2), voici sa formulation entière :
On rappelle que le polynome caractéristique d'une matrice M est Tout d'abord, montrer que si M et N sont deux matrices semblables de Gln(k), elles ont le meme polynome caractéristique: Ok.
En déduire que si est un élément de GL(E), le polynome ne dépend pas du choix d'une base (
est l'isomorphisme qui a un automorphisme associe sa matrice dans la base B) : Ok.
On note donc le polynome caractéristique de
. Montrer que si et sont conjugués, alors : Ok.
A présent, on s'interroge sur les questions suivantes : quels sont les polynômes caractéristiques possibles pour un élément de GL(E) ou E est un R ou C espace vectoriel et combien y-a-t-il de classes de conjugaison différentes admettant le même polynôme caractéristique ?
Il n'y a pas plus d'indication dans l'exercice.
Je vous remercie encore.
J'avais pas repéré que l'on était dans GL(E).
Alors pour un élément de GL(E) n'importe quel polynôme unitaire de degré n dont 0 n'est pas racine, convient.
Le reste est quand même plus compliqué. Connais-tu la forme de Jordan d'une matrice?
En fait, on y a pas traité en cours, mais il semble qu'on se sert de la décomposition de Dunford non ?
On peut mais ce n'est pas obligatoire... Je ne sais pas que te répondre.
La matrice
a le même polynôme caractéristique que la matrice I2 et ne lui est évidemment pas semblable.
Alors je ne sais pas du tout ce que l'on attend de toi! Certainement pas de refaire une théorie des invariants de similitude!
Et quel serait le lien avec la forme de Jordan sur k= ?
Sinon pouvez vous m'aider en ce qui concerne la question 1) ?
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont la même réduite de Jordan. Ce qui permettrait un début de classification.
La question 1) est purement formelle! il n'y a qu'à écrire.
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