bonjour Tompouce67.
Pour la réciproque:
D'abord on bien que rg(f+g)rg(f)+rg(g).(c'est facile à vérifier).
Pour rg(f)+rg(g)rg(f+g):
On a rg(f)+rg(g)=dim(Im(f))+dim(Im(g))
                =dim(Im(f)+Im(g)) ( car leur somme est directe)
Pour finir il suffit qu'on montre que dim(Im(f)+Im(g))dim(Im(f+g))=rg(f+g).
Pour cela, il suffit de montrer que Im(f)+Im(g)Im(f+g).
Ce qui revient à vérifier que Im(f) et Im(g)Im(f+g).
Montrons par exemple que Im(f)Im(f+g):
yIm(f)xE/y=f(x).
or E=ker(f)+ker(g) alors z₁ker(f),z₂ker(g) tels que x=z₁+z₂.
     f(x)=f(z₂) (l'autre terme est nul)
      y =(f+g)(z₂) Im(f+g).
Et c'est ce qu'il fallait démontrer.

Merci pour la réponse mais je cherchais s'il existait une démonstration qui n'utilisait que les dimensions des espaces et pas leurs éléments
Mais je pense que ça ne doit pas être possible

Bonjour Tompouce67 et machin

après avoir montré que sous l'hypothèse on a _{preuve assez facile}

on écrit :

_{sauf erreur bien entendu}

Oui merci beaucoup je crois que c'était comme ça que j'avais fait