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Cohomologie de la limite inductive des espaces projectifs.

Posté par
Nightmare 19-03-09 à 19:32

Bonsoir

J'aurais besoin de vos lumière quant à un résultat dont je ne trouve d'explication nulle part !

Citation :
On souhaite exprimer les groupes de cohomologie de De Rham de 3$\rm \mathbb{CP}^{\infty}=\lim_{\rightarrow} \mathbb{P}(\mathbb{C}^{n}).


J'ai réussi l'exercice en montrant que :
4$\rm \forall i\in 2\mathbb{Z}, H^{i}(\mathbb{CP}^{\infty},k_{\mathbb{CP}^{\infty}})\simeq3$\rm \lim_{\leftarrow} H^{i}(\mathbb{P}(\mathbb{C}^{n}),k_{\mathbb{P}(\mathbb{C}^{n})})

Ces derniers étant homéomorphes à 3$\rm \mathbb{C}[[x]] on a 3$\rm H^{i}(\mathbb{CP}^{\infty}) \simeq \mathbb{C}.

Seulement, on m'a dit qu'on avait carrément le résultat 3$\rm H*(\mathbb{CP}^{\infty})=\mathbb{C}[x].

D'où vient ce résultat ?

Merci à vous

Posté par
Ksilverre : Cohomologie de la limite inductive des espaces projectifs. 19-03-09 à 19:39

Salut !


euh... CP infinit n'est pas une variété, donc ca cohomologie de De Rham c'est pas vraiment définit.

et meme si on s'autorise des variété de dimension infini c'est pas une variété Banachique. donc faudrait peut-etre que tu précise un peu le cadre dans lequel tu travaille.

Posté par
Nightmarere : Cohomologie de la limite inductive des espaces projectifs. 19-03-09 à 19:55

Non tu as raison, c'est une erreur d'énoncé. On calcule simplement la cohomologie de 3$\rm \mathbb{CP}^{\infty} et non sa cohomologie de De Rham.

Posté par
Rodrigore : Cohomologie de la limite inductive des espaces projectifs. 20-03-09 à 03:58

Bonjour,
Y a un truc que je bige pas dans le calcul de tes groupes de cohomologie de dR de CP^n... C'est à valeur dans quel anneau (c'est quoi ton k_{CP^n}?) et ensuite...je comprends rien à ce que tu fait ...C'est quoi qui est homeomorphe à C[[X]]...CP^n (j'y crois moyen, lol) ? Les groupes d'homologies (encore moins)? et le calcule de la limite projectif à la fin je le comprends encore moins...

Les groupes d'homolopie de CP^n à coeff dans R (c'est pas 1,0,1,0,1...) jusqu'à 2 fois la dimension complexe de CP^n (donc 2n )? (Ce point clé en plus est essentiel en K-théorie...m'enfin il est tard et je dis peut etre n'importe quoi ) Donc je vois pas trop comment en tensorisant par ton k_{CP^n} tu obtiens C[[X]]...

Posté par
Camélia Correcteurre : Cohomologie de la limite inductive des espaces projectifs. 20-03-09 à 14:55

Bonjour

C'est ce qu'on appelle un retour tonitruant!

Moi je sais faire

H^*({\bb{CP}}^n)\approx {\bb{R}}[X]/(X^{n+1})

(polynômes tronqués) mais je ne vois pas trop le passage à la limite...

Posté par
Nightmarere : Cohomologie de la limite inductive des espaces projectifs. 20-03-09 à 15:15

Salut tout le monde

Rodrigo > Vu que ce n'est pas cette partie qui m'intéresse j'ai un peu scindé la démonstration, du coup c'est brouillon et peu compréhensible.

Je suis parti comme Camélia en montrant que 5$\rm H*(\mathbb{CP}^{n})\simeq k[X]/(X^{n+1})

En utilisant le critère de Mittag-Leffler, on a :
5$\rm H*\(\mathbb{CP}^{\infty},k_{\mathbb{CP}^{\infty}}\)\simeq \lim_{\leftarrow} \frac{k[X]}{X^{n+1}}=k[[X]]

Désolé si j'ai été peu clair !

Ce qui m'intéresse est le résultat 3$\rm H*\(\mathbb{CP}^{\infty}\)=\mathbb{C}[x]

Posté par
Ksilverre : Cohomologie de la limite inductive des espaces projectifs. 20-03-09 à 18:33

" On calcule simplement la cohomologie de ">>> qu'elle cohomologie ? la cohomologie singulière ?

je ne sais pas non plus ce que tu appelle le critère de Mittag-Leffler, est-ce un énoncé qui dit que la cohomologie d'une limite inductive est la limite projective des groupe de cohologie (si oui... pour quelle cohomologie et sous quel condition sur la limite ? ) ?

sinon ton k_CP c'est le corps des fonction de CP ?

enfin est tu sur que le morphisme de H*(CP^n) -> H*(CP^(n-1)) induit par l'injection de CP^(n-1) dans CP^n soit bien la réduction modulo X^n ? (c'est peut-etre trivial, j'ai pas essayé de le vérifier mais ca me parait étrange car la "réduction modulo X^n" ca ressemble à qqch de canonique alors que l'injection CP^(n-1) -> CP^n ne l'est pas... ceci dit, ca peut ne pas dépendre de l'injection choisit, ou encore que l'isomorphisme H*(CP^n) =  R[X]/X^(n+1) ne soit pas canonique.



enfin, dire que H*=k[[X]] me semble un peu absurde, puisque H* ca doit quand meme etre gradué, et k[[X]] ne l'est pas...

Posté par
Rodrigore : Cohomologie de la limite inductive des espaces projectifs. 20-03-09 à 19:41

Enfin P^n_C c'est une variété projective donc bon son corps de fonction c'est C.

Posté par
Ksilverre : Cohomologie de la limite inductive des espaces projectifs. 21-03-09 à 01:11

... Certe, mais bon je vois pas trop ce que ca pourait désigner d'autre k_CP^n ...


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