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comatrice et rang
Bonsoir, je suis nouvelle sur ce forum et je tenais à vous dire un grand merci d'emblée pour nous sacrifier autant de temps ....surtout que je suis desepere, étant donné que je vais faire 5/2 et que je n'arrive pas a faire des exos de sup...je ne sais pas comment organiser l'année...
alors voilà, j'ai un énoncé et je vous avoue que je n'arrive qu'à avoir quelques idées en vrac sans pour autant savoir comment reelement les appliquer....
A une matrice non inversible de Mn(C), et on note  la transposée de la comatrice de A : ce sera plus simple : on a donc déjà l'égalité AÂ=In*detA
on note (1) : A+Â= k*In avec k complexe et n>2
a) on suppose que k est non nul montrer qlors que si A verifie (1) alors A est semblable à la matrice diagonale (0,k.....k) avec k a preciser...
il ya encore d'autre questoin mais j'espere les trouver si j'arrive deja a repondre a celle la ..
alors mes idées :
semblable => rang or apparemment rang de la matrice diagonale est n-1...et A n'est pas de rang n sinon elle serait inversible...donc il y a deja un souci ..héhé
je sais d'apres un autre exo que rgA=n =>rg(comA)=n
rg(A)=n-1 => rg(comA)=1
rgA<n-2 => rg(comA)=0
bref c'est un peu le brouhaha...tout se contredit...^
pourriez vous m'aider s'il vous plait..
Bonjour, pirouette
Quelques indications pour résoudre l'exercice:
1) Montrer que le rang de A vaut n-1 (tu as déjà vu qu'elle n'est pas de rang n et il reste à démontrer qu'elle n'est pas de rang inférieur à n-2)
2) Montrer que si y est dans Im(A), alors Ay=ky
3) Montrer que Im(A) et ker(A) sont supplémentaires
je suis désolée mais j'arrive à montrer que A est d erang n-1...par contre ca se complique apres..
si y appartient à ImA alors il existe un x tel que Ax=y ..peut on poser ce x=y/k...ce serait trop simple mais jaimerais savoir pourquoi je ne pourrais pas....dois je alors proceder autrement?
meme si je le suppose pour montrer que ImA et Ker A sont supplementaire je pensais raisonner avec une inclusion et un souci de dimension...surtout d'apres l'etape precedente...
excuser moi encore une fois ...je pensais y arriver mais c'est moins facile que je ne le pensais...
Si y appartient à Im(A), on peut l'écrire sous la forme y=Ax. Et, donc:
Or, on sait que
...
Pour montrer que ker(A) et Im(A) sont supplémentaires, on montre d'abord que leur intersection est réduite au vecteur nul (considérer l'image par A d'un élément de l'intersection).
Ensuite, le théorème du rang permet de monter qu'ils sont supplémentaires.
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