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Niveau terminale
Comment exprimer un volume ou une othogonalité?
Posté par sunlight (invité)
Bonjour! Je bloque sur les questions de mon enoncé Je ne sais pas du tout par où commencer!! Aucuns de mes autres exercices ne peuvent m'aider pour ces 2 questions!
Quelqu'un peut-il m'éclairer?
Voici le sujet :
"Soit ABCD un tetraedre tel que ABC ; ABD et ACD soient trois triangles rectangles isocèles rectangles en A avec AB=AC=AD=a.
On apelle A1 le centre de gravité du triangle BCD.
1)Montrer que (AA1) est orthogonale au plan (BCD)
On pourra calculer AA1.CD et AA1.BC
2)En exprimant de 2 facons differentes le volume du tetraedre ABCD, calculer AA1"
Merci a l'avance!!
On écrit les coordonnées de ABCD dans un repère d'origine A et de vecteurs AB, AC,AD puis celles de A1 centre de gravité de BCD il est isobarycentre du triangle
Il suffit d'écrire les composantes des vecteurs AA1 et CD et de faire le produit scalaire
pour calculer AA1 on considère
le tétraèdre de base ABC et de hauteur AD
et le tétraèdre de base BCD et de hauteur AA1
pour le premier V=1/3* base*a base=1/2*aV2*aV2/2=a^2/2
V= 1/3*a^2/2=a^3/6
pour le second V= 1/3*base*AA1
base=1/2*a*DH H étant la projection ortho de D sur BC soit a^2=DH^2 +(aV2/2)^2
DH=aV2/2 base= a^2*V2/4
V= a^2*V2*a/12=a^2*V2/12*AA1
d'où AA1