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commutant d'un endomorphisme

Posté par
edinson 21-04-08 à 22:58

bonjour

je souhaiterais avoir une démo du théorème qui dit que tout endomorphisme v qui commute avec u est un polynome en u ou u est un endomorphisme fixé
merci beaucoup

( c'est un sujet de concours qui porte la dessus et j aimerais pouvoir m aider de cette démo pour comprendre )

merci

Posté par
perroquetre : commutant d'un endomorphisme 21-04-08 à 23:20

Bonsoir, edinson

Tu ne risques pas d'avoir cette démonstration parce que le résultat est faux. Il faut une hypothèse supplémentaire sur u (par exemple, u est diagonalisable, à valeurs propres distinctes)

Posté par
edinsonre : commutant d'un endomorphisme 21-04-08 à 23:35

a oui désolé

l'hypothese c'est que le polynome caractéristique de u est égal a son polynome minimal

Posté par
perroquetre : commutant d'un endomorphisme 22-04-08 à 11:06

Résumé de solution.

Si le polynôme caractéristique est égal au polynôme minimal, il existe un vecteur x de E tel que  (x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))  est une base de E.
Soit g un élément du commutant de f. Il existe a_0,\ldots,a_{n-1} tels que   3$ g(x)=\sum_{k=0}^{n-1} a_kf^k(x)
Il est alors facile de montrer que:   3$ g(f^i(x))=\sum_{k=0}^{n-1}a_k f^k(f^i(x))

g et 3$ \sum_{k=0}^{n-1}a_kf^k  coïncident sur une base de E et sont linéaires. Ils sont donc égaux. Ce qui montre que g est un polynôme en f.

La réciproque est facile

Posté par
edinsonre : commutant d'un endomorphisme 24-04-08 à 00:05

merci beaucoup!!!


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