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complexe, complexes

Posté par
noirdez 19-09-09 à 14:27

bonjour à tous

J'ai un Dm à faire pour mercredi ou il faut résoudre une petite équation  assez sympathique ...

(1+iz)^3 (1-itan)=(1-iz)^3 (1+itan )

la première question me semble assez simple, (montrer que [1+iz]=[1-iz])

mais ensuite il faut exprimer 1+itan / 1-itan en fonction de e^ia
avec a=

et là je bloque...si qqn voit juste par où commencer ...(à part remplacer tan par cos & sin...je vois pas trop)

merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : complexe, complexes 19-09-09 à 14:33

Bonjour

\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan \alpha}=\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\cos\alpha-i\sin\alpha}=\frac{e^{i\alpha}}{e^{-i\alpha}}=e^{2i\alpha}

... en supposant que les hypothèses sur \alpha permettent d'écrire tout ça, ou en discutant!

Posté par
noirdezre : complexe, complexes 19-09-09 à 16:55

c'est aussi simple que ca ? diable !!

[-/2  ; /2 ] donc je pense que ca marche

pour montrer que [1+iz]=[1-iz] , il suffit bien de dire que les racines sont identiques ? (j'ai un doute ca me parait trop simplet ..:s )

merci beaucoup en tout cas ..

Posté par
Camélia Correcteurre : complexe, complexes 19-09-09 à 17:04

Non, ça ne marche pas pour \alpha=\pm\pi/2.

Ce n'est pas toujours vrai que |1+iz|=|1-iz|. Essaye avec z=i. Ici, c'est vrai parceque \|\frac{1+z}{1-z}\|^3=\|\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}\|=1

Posté par
noirdezre : complexe, complexes 19-09-09 à 18:33

il y a surement un truc qui m'échappe ...
pourquoi \|\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}\|=1 ???

et puis du coup comment faire pour exprimer \|\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}\| en fonction de e^{2i\alpha}, il faut passer par les cosinus/sinus  ?


merci pour l'aide en tout cas

Posté par
Camélia Correcteurre : complexe, complexes 20-09-09 à 14:38

Deux nombres conjugués ont le même module! De plus, on vient de l'exprimer...

Posté par
noirdezre : complexe, complexes 20-09-09 à 17:08

bon alors je crois que je mélange tout et j'ai du oublier des détails ...je reprend :
soit ]-/2,/2[

soit (E) (1+iz)^3 (1-itan (a)) = (1-iz)^3 (1+itan (a))

1) soit z une solution de (E)

a.montrer que |1+iz|=|1-iz|.
b.en déduire que z est un réél

2)exprimer \|\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}\| en fonction de e^ia

le reste ca devrait le faire..

Faut-il utiliser le fait que z soit solution de (E) pour montrer 1)a. ? ou c'est évident, en faisant avec les conjugués ?

d'avance merci

Posté par
Camélia Correcteurre : complexe, complexes 20-09-09 à 17:13

Je répète, en général c'est faux que |1+iz|=|1-iz|. Pour z=i, on a |1+iz|=0 et |1-iz|=2.

C'est bien parce qu'il s'agit de CETTE équation que c'est vrai!


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