Niveau Maths sup

complexes..

Posté par
Minineutron 10-09-09 à 20:56

Bonsoir, je travaille sur les complexes en ce moment, et malgré quelques essais, je ne vois pas du tout comment avoir cette égalité..

$(1+z_k)^n$ = $2^ncos^n$ $\frac{\theta +2kpi}{2n}$ $e^(i\theta/2)+kpi)$ ?

j'ai posé zk = e^i((pi+2kpi)/n) car c'est une racine n-ième d'un nombre complexe dont le module vaut 1.

Mais voilà je bloque sur cette égalité, j'ai pensé au binôme de newton, mais ça ne me donne pas du tout ça..

voilà, pour ceux qu'ont une idée, faîtes signes svp..

Posté par re : complexes.. 10-09-09 à 21:09

j'ai essayé mais en trouvant:

2^ncos((theta+2kpi)/n)^(n-k)...

Posté par re : complexes.. 10-09-09 à 22:20

bonsoir,
$z_k=e^{\frac{i\theta+2ik\pi}{n}=e^{i\omega_k}$ pour simplifier l'écriture
$1+z_k=1+e^{i\omega_k}=e^{\frac{i\omega_k}{2}}(e^{\frac{-i\omega_k}{2}}+e^{\frac{i\omega_k}{2}})$
$e^{\frac{-i\omega_k}{2}}+e^{\frac{i\omega_k}{2}}=2cos(\frac{\omega_k}{2})$
tu écris $(1+z_k)^n$ et cela doit te mener au résultat voulu

Posté par re : complexes.. 10-09-09 à 22:29

Salut

C'est la même chose que si tu avais $1+exp{it}$

Tu fais : $1+exp{it}=exp{i\frac{t}{2}}(exp{-i\frac{t}{2}}+exp{i\frac{t}{2}})=exp{i\frac{t}{2}}2cos(\frac{t}{2})$

En fait, ici, on te demande de le faire à l'envers.

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