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Niveau Maths sup
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Complexes

Posté par
Mathonda 20-09-09 à 20:24

Bonjour

J'ai un souci pour cette exercices ,pouvez-vous m'aider ?

Soit n un entier non nul .On considère n nombres compexes z1,z2,........,zn tous non nuls ,et on pose ,pour tout entier k compris entre 1 et n ,ak=(zk)/|zk|.

On suppose dans les questions 1.et 2.que l'on a :de 1 à n ak=0

1.Montrer que pour tout complexe z ,la somme S=(1 à n )des ak(barre)(z-zk) est un nombre réel strictement négatif et indépendant de z .

On pourrait séparer l'addition : (1àn)ak(barre*z-ak(barre)*zk

mais je ne trouve rien ...

2.En déduire l'inégalité suivante ,pour tout z complexe : (1 à n))|zk|(1 à n)|z-zk|.

...pourriez-vous m'indiquer une méthode ?

3.Montrer que ,pour tout complexe z , on a l'inégalité :
n(1 à n)|z-ei2k/n)

Posté par
perroquetre : Complexes 20-09-09 à 20:54

Bonjour, mathonda

Pour la première question:

3$ \sum_{k=1}^n \overline{a_k}=\overline{\sum_{k=1}^na_k}=0

De plus:

3$ \overline{a_k}z_k= \frac{\overline{z_k}z_k}{|z_k|}=|z_k|

Cela devrait te permettre de trouver la réponse à la première question.

Pour la deuxième question:

c'est une conséquence directe de la solution de la première question (quand on l'a trouvée )

Posté par
Mathondare : Complexes 22-09-09 à 20:08

euh ...je ne vois pas le rapport avec la question en fait ...

ak(barre)*z =|zk|

donc on devrait faire la somme de cela donc somme
|zk|-zk ?

Posté par
perroquetre : Complexes 22-09-09 à 21:11

As-tu trouvé la solution de la première question ?

Posté par
Mathondare : Complexes 22-09-09 à 22:36

je pense :

S pour somme de 1 à n : z^ désigne le conjugué de z. * pour "multiplier"
S[ak^(z-zk)]=S[z*ak^-ak^*zk]=S(z*ak) - S(ak^*zk) = z*S(ak^) - S(ak^*zk) =z*[S(ak)]^ - S[ak^*ak*IzkI]
car zk = ak*IzkI ; or ak*ak^=IakI² = 1 ; de plus S(ak) =0
donc z*[S(ak)]^ - S[ak^*ak*IzkI] = -SIzkI nombre réel négatif indépendant de z.

mais je ne parviens pas à faire la 2...

Posté par
perroquetre : Complexes 22-09-09 à 23:46

D'après la première question:

3$ \sum_{k=1}^na_k(z-z_k) = -\sum_{k=1}^n|z_k|

Donc:

3$ \sum_{k=1}^n|z_k|=\left|\sum_{k=1}^na_k(z-z_k)\right|\leq\sum_{k=1}^n|a_k||z-z_k|=\sum_{k=1}^n|z-z_k|

Posté par
Mathondare : Complexes 23-09-09 à 18:11

ah oui

Pour la 3. j'ai alors : En posant zk = ei2kpi/n on a IzkI = 1 donc IzkI = n

et d'après l'intégalité de la deuxième question on a bien l'expression demandée .

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
perroquetre : Complexes 23-09-09 à 23:45

Il faut vérifier les hypothèses des questions 1 et 2, et il y en a une qui n'a pas été vérifiée, c'est l'hypothèse:

3$ \sum_{k=1}^na_k=0     avec    3$ a_k=\frac{\overline{z_k}}{|z_k|}

C'est assez facile à faire.


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