Bonjour,

1.

2. Avec la périodicité, on peut voir que
w⁰=-w^n/2
w¹=-w^n/2+1
etc
Donc les sommes se simplifient largement

Ptitjean

Bonjour.

Je trouve le sujet assez délicat. Je t'expose mes premières conclusions.

On sait que

Donc :

Si on écrit dans un tableau à double entrée les valeurs de p² - q² :



on s'aperçoit que

1°) la diagonale principale est remarquable : 0,0,0,...
2°) les diagonales parallèles symétriques sont identiques au signe près
3°) le long d'une de ces diagonales on repère des multiples.
Par exemple : 4 8 12 16 20 ... ou bien 9 15 21 27 ...

Montrons cette dernière propriété.

partons du terme correspondant à (p,q) = (p,0)
en suivant la diagonale, on rencontre ensuite : (p+1,1) (p+2,2) ... (p+n-1,n-1)

Cela donne pour p²-q² : p² , p(p+2) , p(p+4) , . . . , p(p+2n-2)

La somme correspondante donnera :



La somme entre crochets représente la somme des termes d'une suite géométrique de raison w^2p

Deux cas fondamentaux : w^2p = 1 ou w^2p 1

a°) w^2p = 1

Cela signifie que p = n/2 ce qui ne peut se produire que si n est pair.

Dans ce cas la somme des termes sur la diagonale "p" sera :



Il faudra donc encore voir si p est pair ou impair.

a°) w^2p 1

Là, c'est beaucoup plus simple. La somme vaut :



Voilà. Maintenant, il faut mettre tout cela bout-à-bout.

En faisant les calculs directs, je trouve :

|Z₁|² = 1

|Z₂|² = 0

|Z₃|² = 3

|Z₄|² = 8

|Z₅|² = 5

|Z₆|² = 0

Le logiciel Maple me donne :

|Z₇|² = 7

|Z₈|² = 16

|Z₉|² = 9

|Z₁₀|² = 0

A toi de poursuivre.

merci raymond vous m'avez beaucoup aidé mais je pense que ce n'est pas demandé de faire les calculs moi je pense
qu'on peu dire selon la parité de p que le module de Z²=n ou n(1+(-1)^n/2)!!

Te demande-t-on de calculer |Z|² ?